Obliczanie granic ciągów.

[Inke]

....No to jeszcze raz...
Za 3 Dni mam koło a nie pojmuję o co chodzi w tych przykładach , gdzie wychodzi 'e' z czymś tam... :-(Proszę o sposób rozwiazania krok po kroku. Z góry dziekuję

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{3}{n} \right) ^n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{4}{n} \right) ^{-n+3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n^2 +2}{2n^2 +1} \right) ^{n^2}}\)

Edit by Tomek R.: Poprawiłem zapis, jest czytelniej... Czy w 3ciej granicy o to Ci chodziło? Troszkę poskąpił(e)aś nawiasów... No ale wydaje mi się, że jest OK Jeśli coś jest źle, popraw:)

[Tomasz Rużycki]

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{3}{n} \right) ^n=\lim_{n\to\infty} \left[ \left( 1+\frac{-3}{n} \right) ^{\frac{n}{-3}} \right] ^{-3}=e^{-3}=\frac{1}{e^3}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{4}{n} \right) ^{-n+3}=\lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{4}{n} \right) ^{-n}\cdot \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-4}{n} \right) ^3=\lim_{n\to\infty} \left[ \left( 1+\frac{-4}{n} \right) ^{\frac{-n}{4}} \right] ^4\cdot 1=e^4\cdot 1=e^4}\)

3) Jakieś głupoty mi wychodzą... Jak mi w końcu się uda to policzyć jakoś 'po ludzku' to napisze:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[inke]

Dzięki ogromne!!!! Mógłbyś mi jeszcze dokładniej wyjaśnić to przekształcenie (pierwszy krok w przykładzie1 i drugi krok w przykladzie2) Skąd to się wzięło?

co do zad .3 spróbuję jeszcze raz jaśniej

\(\displaystyle{ \left(\frac{ n^{2} +2}{2n^2 +1}\right)^{n^{2}}}\)

[metamatyk]

\(\displaystyle{ \left( n^{2}+\frac{2}{2n^{2}+1} \right) ^{n^{2}}=e^{\ln \left( n^{2}+\frac{2}{2n^{2}+1} \right) ^{n^{2}}}=e^{n^{2}\ln \left( n^{2}+\frac{2}{2n^{2}+1} \right) }}\) Teraz rozpatrujemy \(\displaystyle{ n^{2}\ln \left( n^{2}+\frac{2}{2n^{2}+1} \right)}\) Korzystamy z faktu że
\(\displaystyle{ x_{n}-\frac{x_{n}^{2}}{2}<\ln \left( x_{n}+1 \right) <x_{n}}\) dla dowolnego ciągu
\(\displaystyle{ x_{n}}\). Po długich żmudnych obliczeniach naszym ciagiem będzie:
\(\displaystyle{ \frac{2n^{4}-n^{2}+1}{2n^{2}+1}}\) Podstawiasz ten ciag do tych nierówności i masz i możesz skorzystac z twierdzenia o trzech ciągach.Powinna wyjść nieskonczonosc

[Tomasz Rużycki]

Korzystałem z następujących własności:

\(\displaystyle{ a^{bc}=(a^b)^c}\)
\(\displaystyle{ a^b\cdot a^c=a^{b+c}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\) są zbieżne mamy: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n\cdot b_n=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n}\)

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[_el_doopa]

matematyk ciekawie, ciekawie tylko można kapke prosciej
\(\displaystyle{ (n^2)^{n^2}<\left( n^2+{2 \over 2n^2+1}\right)^{n^2}}\)
i to jest koniec bo to mniejsze zmierza do nieskonczonosci

[inke]

Dziękuję wam Baaaaaaaaaardzooooo ! Skąd Wy to wiecie? nie wiem... Ja jestem zielona w tym temacie...

P.s. W ostatnim przykładzie ma być w liczniku n^(2) +2
nie potrafię tego napisać jaśniej...


Edit by Tomek R.: Poprawiłem

[metamatyk]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right)^{n^2}<\left( \frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1}\right)^{n^{2}}<\left( \frac{2}{3}\right)^{n^2}}\) przy czym ostatnia nierównosc zachodzi dla dostateczie dużych n. W każdym razie obydwa ciągi są zbieżne do 0, Czyli z 3ciagow nasz ciag tez jest zbieżny do 0

[dethim]

cos nie widze rozwiązania dla 3 granicy. ja zrobilem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n^2 +2}{2n^2 +1})^{n^2} \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n^2 + 2}{n^2 - n^2 + 1 - 1 + 2n^2 + 1})^{n2} \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n^2 + 2}{n^2 + 2} + \frac{1}{-n^2 + 2n^2} )^{n^2} \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } (1 + \frac{1}{n^2})^{n^2} \Rightarrow e^1}\)

[cosinus90]

dethim, niestety. Poprawny wynik to nieskończoność.

[dethim]

cosinus90, a gdyby tutaj \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) ^{n^2}}\) zamiast \(\displaystyle{ n^2}\) było \(\displaystyle{ n}\) ?

to by wyszlo \(\displaystyle{ e^{1}}\)
tak granica wyjdzie \(\displaystyle{ \infty}\)

[cosinus90]

Według mnie ogólnie źle to obliczasz, konkretnie chodzi o przekształcenia tego ułamka, stąd zły wynik.

[abc666]

3 granica wynosi 0

\(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\infty } \right]}\)

[kaori92]

Cześć, czy ktoś mógłby wyliczyć tutaj trzeci przykład? W swoim poście matematyk wyciągnął n kwadrat przed ułamek, to chyba pomyłka?

Pozdrawiam

[Dasio11]

Pełne rozwiązanie

\(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\)

Jest to feralny przykład z książki Krysickiego, do którego z tyłu jest podana błędna odpowiedź. A oto prawidłowy sposób rozwiązywania:
1. sposób:
Skorzystamy z TW. o trzech ciągach.
Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ n>2}\) to prawdziwe jest szacowanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{n^2+2}{2n^2+1} \le \frac{n^2+ \frac{n^2}{2} }{2n^2}= \frac{3}{4}}\)
Ale: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{1}{2}\right)^{n^2}=\lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{4}\right)^{n^2}=0}\).
Stąd również \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\)

2. sposób:
Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{n^2+2}{2n^2+1} \rightarrow \frac{1}{2}}\)
Możemy więc (chociaż jest to pewnym nadużyciem) wykorzystać ostatni punkt TW. 1 i stwierdzić, że \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\), gdyż \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}^{ \infty }\right]}\) nie jest symbolem nieoznaczonym.

3. sposób:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}=\left( \frac{1+ \frac{2}{n^2} }{2+ \frac{1}{n^2} } \right)^{n^2}= \frac{ \left(1+ \frac{2}{n^2}\right)^{n^2} }{ \left( 2+ \frac{1}{n^2}\right) ^{n^2}}}\)
Teraz łatwo obliczamy, że: \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2}{n^2}\right)^{n^2} \rightarrow e^2}\)
oraz: \(\displaystyle{ \left( 2+ \frac{1}{n^2}\right) ^{n^2} \rightarrow \infty}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=0}\)