Matematyka.pl

Mam takie pytania (zadania pochodza z kolka matematycznego pawlowskiego)

1. Udowodnij ze jesli p jest pierwsza i liczba 11111...1 (p jedynek) jest podzielna przez p to p=3

2. Udowonij ze jesli p jest pierwsza i \(\displaystyle{ a^p-b^p}\) jest podzielna przez p to \(\displaystyle{ a^p-b^p}\) jest podzielna rowniez przez \(\displaystyle{ p^2}\).

Wielkie dzieki.

zad 1. aby liczba byla podzielna przez 3 to suma jej cyfr musi byc podzielna przez 3 czyli jedynek jest 3, 6, 9 ....

czyli

111 ktore jest liczba pierwsza
111111 nie jest pierwsza bo to 111*1001

itd

1.mozna tak, jezeli \(\displaystyle{ p \ne 3}\) to gdy \(\displaystyle{ p |9\cdot 1111...1}\) to takze \(\displaystyle{ p | 111...1}\) bo \(\displaystyle{ NWW(p,9)=1,}\) czyli \(\displaystyle{ \\
9 1111...1 = 10^p-1}\)
zas z malego tw fermata:
\(\displaystyle{ 10^p \equiv 10 (mod \ p) \\
10^p - 1 \equiv 9 (mod \ p) \\}\)
pe2de2, skad wiesz ze nie ma innych rozwiazan
2 zauwaz, ze
\(\displaystyle{ a^p \equiv a (mod \ p), \ \ b^p \equiv b ( mod \ p ) \rightarrow a \equiv b (mod \ p ) \\
a^p - b^p = (a-b) ( ...... )}\)

pe2de2 pisze:111 ktore jest liczba pierwsza

\(\displaystyle{ 111 = 3 \cdot 37}\)

wstyd Mi za siebie, zrzuce to na puźna godzinę i przemęczenie ;P

dzikei bardzo za pomoc:D mam jeszcze kilka zadan z kolka matmeatycznego pawlowskiego ktore nie wiem jak zrobic( badz nie jestem pewny) to w wolnej chwili wrzuce jako nowy temat