Matematyka.pl

Dla funkcji \(\displaystyle{ f:R^{N} \rightarrow R}\) definiujemy funkcję \(\displaystyle{ m_{f}:R^{N}
ightarrow [- infty , infty )}\) wzorem
\(\displaystyle{ m_{f}(x)= \lim_{ r\to0+ }\inf_{y\in K(x,r}f(y)}\)
oraz funkcję \(\displaystyle{ M_{f}:R^{N} \rightarrow (- \infty , \infty ]}\) wzorem
\(\displaystyle{ M_{f}(x)=\lim_{ r\to0+ }\sup_{y\in K(x,r}f(y)}\).
Wówczas f jest ciągła w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m_{f}(x)=M_{f}(x)}\).

Czy potrafi ktoś to udowodnić?

A co mówi definicja ciągłości? Jeśli weźmiemy dostatecznie małe otoczenie punktu, to wahania na tym otoczeniu będą dowolnie małe. Czym jest \(\displaystyle{ M_f - m_f}\)?

PS Potrafię to udowodnić.

\(\displaystyle{ M_{f}-m_{f}=\lim_{ r\to0+ }\sup_{y\in K(x,r)}f(y)-\lim_{ r\to0+ }\inf_{y\in K(x,r)}f(y)=\lim_{ r\to 0+ }(\sup_{y\in K(x,r)}f(y)-\inf_{y\in K(x,r)}f(y))}\)

Proszę o pomoc w udowodnieniu tego.

No dobrze, co mówi definicja ciągłości funkcji?

Funkcja jest ciągła w jakimś punkcie, jeśli dla dostatecznie małego otoczenia tego punktu, różnica wartości na tym otoczeniu jest dowolnie mała.

Ok, a tak swoimi słowami, czym jest \(\displaystyle{ \sup_{y\in K(x,r)}f(y) - \inf_{y\in K(x,r)}f(y)}\)? Jeśli to jest malutkie (dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ r}\)), to o czym to świadczy?

Nie wiem czym jest ta różnica. Nie widzę tego. Ale jeśli to jest malutkie, to świadczy zapewne o ciągłości.

W jedną stronę. Załóż, że funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ x}\). Ustal \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Istnieje otoczenie \(\displaystyle{ x}\), kula o promieniu \(\displaystyle{ \delta}\), na którym funkcja różni się od \(\displaystyle{ f(x)}\) o mniej niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Skoro \(\displaystyle{ \varepsilon}\) było dowolne, to \(\displaystyle{ m_f = M_f}\).

funkcja różni się od f(x) o mniej niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\)

Istnieje K(x,r) taka, że \(\displaystyle{ |f(y)-f(x)| < \varepsilon}\), dla \(\displaystyle{ y \in K(x,r)}\)
Nie widzę tego, że od razu \(\displaystyle{ m_{f}=M_{f}}\)

Z cytowanego przez Ciebie fragmenu wynika, że blisko \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x) - \varepsilon \le f(y) \le f(x) + \varepsilon}\) (\(\displaystyle{ y}\) leży blisko \(\displaystyle{ x}\)). Jak się to ma do \(\displaystyle{ m_f}\) i \(\displaystyle{ M_f}\)?

Swoją drogą, na forum jest chyba Twoja koleżanka, która używa zadziwiająco podobnych oznaczeń... https://www.matematyka.pl/395311.htm

Medea 2, tak, rozwiązujemy te zadania razem

Nie wiem, przychodzi mi do głowy to, że \(\displaystyle{ m_{f}(x)=f(y)}\) i \(\displaystyle{ f(y)=M_{f}(x)}\)

Z tego, co napisałam, wynikają nierówności: \(\displaystyle{ m_f \ge f(x) - \varepsilon}\), \(\displaystyle{ M_f \le f(x) + \varepsilon}\). Gdy \(\displaystyle{ r}\) dąży do zera, to także \(\displaystyle{ \varepsilon}\) tam zbiega (funkcja ciągła nie może się rozerwać i gwałtownie przeskoczyć między wartościami). A skoro tak, to \(\displaystyle{ M_f}\) oraz \(\displaystyle{ m_f}\) "zbiegają" do \(\displaystyle{ f(x)}\) i są sobie równe.

Dowód w drugą stronę wygląda bardzo podobnie, trzeba odwrócić rozumowanie.

Medea 2 pisze:Z tego, co napisałam, wynikają nierówności: \(\displaystyle{ m_f \ge f(x) - \varepsilon}\), \(\displaystyle{ M_f \le f(x) + \varepsilon}\).

W jaki sposób? Mamy \(\displaystyle{ f(x) - \varepsilon \le f(y) \le f(x) + \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ y}\) z tej kuli o środku \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ \delta}\), ale skąd wiemy że zachodzi to też dla kresów i dla ich granic?