Matematyka.pl

Witam
\(\displaystyle{ z^{11} = \overline{z}}\)
Ze wzoru de Moiver'a otrzumuję:
\(\displaystyle{ z = \left\{0,1,-1,j,-j \right\}}\)
\(\displaystyle{ 11\varphi = -\varphi + 2k\pi}\)
Zatem \(\displaystyle{ \varphi = \frac{k\pi}{6}}\)

I teraz moje pytanie: Rozwiązań powinno być 11(dla k od 0 do 10) dla z różnego od 0, tymczasem dla 11 otrzymuję \(\displaystyle{ \varphi = \frac{11\pi}{6}}\) czyli też poprawne rozwiązanie. Gdzie jest w takim razie błąd?

sakipl pisze:Rozwiązań powinno być 11

Skąd ten wniosek? Tak toby było, gdybyśmy mieli równanie \(\displaystyle{ z^{11}=z_{0}}\) dla pewnej ustalonej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z_{0}}\).

Ok, rozumiem. Zapomniałem, że ten fakt tyczy się tylko ustalonych liczb. Dziękuję za pomoc

sakilpl pisze:Ok, rozumiem. Zapomniałem, że ten fakt tyczy się tylko ustalonych liczb. Dziękuję za pomoc

Nieprawda, niekoniecznie. Ważne, aby to był wielomian tej samej zmiennej, tzn. wtedy zasadnicze twierdzenie algebry jest prawdziwe.

Wielomian od z i z sprzężone to nie jest wielomian postaci f(z)....i tyle - nie musi miec tylu pierwiastków ile wynosi jego stopien