Matematyka.pl

Problem polega na wykazaniu,że ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}(x)=(1+\frac{x}{n})^{n}}\) jest zbieżny jednostajnie w każdym przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) . Proszę o szczególowy dowód

problem jest rownowazny dowiedzeniu, ze dla kazdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) ciag \(\displaystyle{ a_n = \left( 1 + {x \over n} \right)^n}\) jest zbiezny. wystarczy zatem dowiesc, ze \(\displaystyle{ \forall_{x>0} a_n}\) jest ograniczony od dolu (np przez 0) i malejacy a \(\displaystyle{ \forall_{x<0} a_n}\) jest ograniczony od gory (tez przez 1) i rosnacy.

To nie o to chodzi. Czy słyszałeś kiedyś o pojęciu ZBIEŻNOŚCI JEDNOSTAJNEJ ciągu funkcyjnego? Chodzi o to zeby wykazać,że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny na R a tylko na kazdym przedziale (a,b)

sorki, w temacie napisales punktowo i to mnie zmylilo.

ale jaka jest roznica miedzy zbieznoscia jednostajna na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) a z.j. na jakims przedziale? jak dla mnie to bezposrednio z definicji zbieznosci jednostajnej wynika, ze jak ciag funkcyjny jest jednostajnie zbiezny na \(\displaystyle{ (a,b)}\) to jest tez j.z. na \(\displaystyle{ (c,d) (a,b)}\). ale ja sie tam nie znam, jak sie myle to mi nie tlumaczyc na sile, bo pewnie i tak nie zrozumiem.

Jeśli mamy zbadać zbieżność jednostajną na jakimś przedziale, to zaczyna sie prosto od zbadania zbieżności punktowej , czyli policzenia granicy z parametrem x przy n dążącym do nieskończoności.Potem rozpatruje się:\(\displaystyle{ sup((1+\frac{x}{n})^{n}-e^{x})}\)(Przy czym ta różnica jest w module, który nie wiem jak wstawić).Supremum to musi zbiegać do 0(wtedy z. jest jednostajna)No i teraz obala się w tym przypadku zbieżność jednostajną(na R) wstawiając pod x - 'n' mamy \(\displaystyle{ 2^{n}-e^{n}}\)a to nie zniega do 0.Teraz trzeba sie zająć zbieżnoscia na kazdym przedziale (a,b)-Trzeba wykazać ze supremum dla x z tego przedziału zbiega do 0

ale jak to sie obala zbieznosc jednostajna? zamiast x kladziesz n i potem jedziesz z n do nieskonczonosci? przeciez x musi byc skonczone...
chyba ze dalej cos zle rozumiem.
btw - |x| daje \(\displaystyle{ |x|}\)

Właśnie może wydawać się to dziwne ale tak jest.W każdym razie jeśli masz 2 tom Fichtenholza to badające zbieżność ciagów funkcyjnych wkłada pod x coś zależnego od n,ja to rozumiem bardziej intuicyjnie.Np jesli mamy obalic zbieżność jakiegos ciagu na (0,1) a punktowo wychodzi np 0 a po podstawieniu pod x - 1/n, wychodzi nieskończonosc-czyli po prostu na ciągu dowolnie bliskim 0 funkcja graniczna rozbiega do nieskończoności

metamatyk pisze:wkłada pod x coś zależnego od n

ale pewnie zbieznego... nie mozesz wstawic n bo to jest rozbiezne. to wyrazenie zalezne od n musi byc skonczone zeby spelnialo zalozenia przypisane iksowi - czyli zeby bylo rzeczywiste. chodzi o to, ze nie ma nieskonczonej liczby rzeczywistej dlatego jak chcesz obalic ta zbieznosc (co imho sie nie uda) to musisz podstawic cos skonczonego.

Wybacz- tak mnię uczą na studiach . Wielokrotnie na ćwiczeniach z analizy podstawialiśmy pod x ciąg zależny od n i bardzo często rozbieżny...