[MIX] mix zadań z geometrii
: 14 paź 2015, o 15:10
1. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest figurą płaską lub przestrzenną, ograniczoną i mającą środek symetrii, to środek ten jest punktem stałym każdej izometrii własnej figury \(\displaystyle{ F}\).
M
2. Czy koło można podzielić trzema cięciwami na siedem części o równych polach ?
3. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ A_1, … A_{2n}}\) są wierzchołkami \(\displaystyle{ 2n}\) kąta wypukłego wpisanego w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu 1, to wektor \(\displaystyle{ \vec{OA_1}+ \vec{OA_3} +…+ \vec{OA_{2n-1}} - ( \vec{OA_2}+ \vec{OA_4}+…+ \vec{OA_{2n}})}\) ma długość nie większą niż 2.
4. Mając daną łamaną \(\displaystyle{ L}\) można konstruować łamaną \(\displaystyle{ L^{\prime}}\) łącząc środki kolejnych boków łamanej. Czy może tak być, że w ciągu \(\displaystyle{ L, L^{\prime}, L^{\prime \prime},…}\) będzie łamana, która jest rozłączna z \(\displaystyle{ L}\) ?
5. Ile razy może odbić się promień świetlny od dwóch prostych ustawionych do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^{o}}\) ?
6. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie takim zbiorem punktów przestrzeni, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) przestrzeni istnieje tylko jeden punkt \(\displaystyle{ y \in M}\) o największej od niego odleglości. Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest jednoelementowy.
7. Udowodnić, że spośród pięciu wektorów w przestrzeni, kąt między jakimiś dwoma z nich nie jest rozwarty
8. Dana jest figura: sześciokąt foremny podzielony na 24 przystające trójkąty równoboczne. W wierzchołkach tej figury wpisano dowolnie różne liczby. Udowodnić, że istnieje 7 takich trójkątów, że liczby w ich wierzchołkach rosną w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
9. Jak skonstruować wewnątrz czworokąta punkt, którego suma odległości od boków będzie najmniejszą ? Czy taki punkt jest jedyny ?
10 . Czy środki okręgów opisanych na ścianach czworościanu mogą być punktami tej samej płaszczyzny ?
M
2. Czy koło można podzielić trzema cięciwami na siedem części o równych polach ?
3. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ A_1, … A_{2n}}\) są wierzchołkami \(\displaystyle{ 2n}\) kąta wypukłego wpisanego w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu 1, to wektor \(\displaystyle{ \vec{OA_1}+ \vec{OA_3} +…+ \vec{OA_{2n-1}} - ( \vec{OA_2}+ \vec{OA_4}+…+ \vec{OA_{2n}})}\) ma długość nie większą niż 2.
4. Mając daną łamaną \(\displaystyle{ L}\) można konstruować łamaną \(\displaystyle{ L^{\prime}}\) łącząc środki kolejnych boków łamanej. Czy może tak być, że w ciągu \(\displaystyle{ L, L^{\prime}, L^{\prime \prime},…}\) będzie łamana, która jest rozłączna z \(\displaystyle{ L}\) ?
5. Ile razy może odbić się promień świetlny od dwóch prostych ustawionych do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^{o}}\) ?
6. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie takim zbiorem punktów przestrzeni, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) przestrzeni istnieje tylko jeden punkt \(\displaystyle{ y \in M}\) o największej od niego odleglości. Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest jednoelementowy.
7. Udowodnić, że spośród pięciu wektorów w przestrzeni, kąt między jakimiś dwoma z nich nie jest rozwarty
8. Dana jest figura: sześciokąt foremny podzielony na 24 przystające trójkąty równoboczne. W wierzchołkach tej figury wpisano dowolnie różne liczby. Udowodnić, że istnieje 7 takich trójkątów, że liczby w ich wierzchołkach rosną w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
9. Jak skonstruować wewnątrz czworokąta punkt, którego suma odległości od boków będzie najmniejszą ? Czy taki punkt jest jedyny ?
10 . Czy środki okręgów opisanych na ścianach czworościanu mogą być punktami tej samej płaszczyzny ?