Matematyka.pl

Cześć,

Mam do rozwiązania zadanie - oblicz objętość bryły opisanej nierównościami:

\(\displaystyle{ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x^2+y^2 \le 1, z \le xy}\)

Sprowadza się to zapewne do rozwiązania prostej podwójnej całki tylko nie mam pojęcia jak wygląda to coś w trójwymiarze. Zawsze mam z tym problem. Czy to będzie jakaś kula? Zapewne jedno ograniczenie będzie od 0 do 1, a drugie nie wiem.

Na \(\displaystyle{ z}\) masz dwie nierownosci. Od razu przechodzisz na calke podwojną, a pozniej wspolrzedne biegunowe

Spodziewam się, że funkcja do całkowania to \(\displaystyle{ x^2 + y^2}\). Czy całka będzie wyglądała tak?

\(\displaystyle{ \left| V\right| = \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy= \int_{0}^{1}[ \int_{ 0 }^{xy} (x^{2}+ y^{2})dy]dx}\)

A dlaczego taka funkcje całkujesz?? Pomyśl.

EDIT: pomysł
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
\(\displaystyle{ r \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{\Pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z \in (0,r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha)}\)

Całka potrójna:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2} } \int_{0}^{1} \int_{0}^{r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha} r dz dr d\alpha}\)

AdamL pisze:A dlaczego taka funkcje całkujesz?? Pomyśl.

EDIT: pomysł
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
\(\displaystyle{ r \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{\Pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z \in (0,r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha)}\)

Całka potrójna:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2} } \int_{0}^{1} \int_{0}^{r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha} r dz dr d\alpha}\)

Czyli tutaj jednak będzie całka potrójna, a nie podwójna? Mógłbyś wytłumaczyć te przekształcenia dążące do zapisu całki?

Ależ wystarczy podwójna. Popatrz najpierw na powierchnię \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Co to jest (w przestrzeni)?

teraz zastanów się co dochodzi, gdy założysz trzy pierwsze nierówności?

a4karo pisze:Ależ wystarczy podwójna. Popatrz najpierw na powierchnię \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Co to jest (w przestrzeni)?

teraz zastanów się co dochodzi, gdy założysz trzy pierwsze nierówności?

No tutaj będzie coś się rozchodziło z tym okręgiem chyba, który będzie ograniczony przez te nierówności na dodatnich wartościach x, y i z.

To nie jest okrąg. Masz przeciez trzy wymiary

a4karo pisze:To nie jest okrąg. Masz przeciez trzy wymiary

No będziemy się zapewne obracać wokół osi "z" więc to będzie jakaś płaszczyzna obrotowa.

konkretniej! Widzałeś kiedys gazociag?

a4karo pisze:konkretniej! Widzałeś kiedys gazociag?

Ścięty walec?

A niby czym sciety? po prostu rura nieskonczone w gore i w dol.

OK, teraz trzy pierwsze nierownosci...

Rozpisałem całkę potrójną dlatego, żeby było widać wszystko krok po kroku, intuicja - objetosc - czyli calka potrojna

Na przykład moja intuicja nie mówi, że objętość wymaga całki potrójnej, tylko że może to oznaczać obliczanie objętości bryły ograniczonej wykresami funkcji dwóch zmiennych, czyli powierzchniami.

Majeskas pisze:Na przykład moja intuicja nie mówi, że objętość wymaga całki potrójnej, tylko że może to oznaczać obliczanie objętości bryły ograniczonej wykresami funkcji dwóch zmiennych, czyli powierzchniami.

Cóż, gdy mówi się o klasycznej całce oznaczonej funkcji jednej zmienniej, to liczy sie pole trapezów krzywoliniowych (obiekt dwuwymiarowy) całką pojedynczą.
Podobnie objetości brył ograniczonych "z góry" i "z dołu" powierzchniami wygodnie się liczy całką podwójną (w końcu można i potrójną, ale wtedy ta calka po kierunki "prostopadłym" sprowadza sie do róznicy wartości między "sufitem" i "podłogą". Niemniej jednak faktem jest, że na ogól liczenie objetości i całka potrójna to siostry .