Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna

Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Post autor: Frynio » 10 paź 2015, o 03:05

Witam. Mam na I semestrze algebrę z geometrią analityczną i dostałem 3 takie zadania do zrobienia przed ćwiczeniami:

1. Na paraboli o równaniu: \(4x+y^2+2y+9 = 0\) znaleźć punkty jednakowo oddalone od ogniska, wierzchołka
i kierownicy. Szkic w układzie współrzędnych OXY. - tutaj wyliczyłem ognisko, wierzchołek i równanie kierownicy, ale nie wiem co dalej

2. Dla krzywej o podanym równaniu wyznaczyć wierzchołki oraz ogniska: \(8x^2+9y^2+16x-18y-55=0\)

3. Dane jest równanie hiperboli : \(\frac{(y-3)^2}{16}-\frac{(x-4)^2}{9} = 1\). Wyznaczyć : a) współrzędne środka, b) współrzędne ognisk, c) współrzędne wierzchołków i d) równania asymptot. I tu właśnie nie umiem podpunktu d).

Z góry wielkie dzięki za pomoc, siedzę już nad całą tą geomerią już kilka dobrych godzin po wykładzie, ale z tymi nic nie mogę wymyślić...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Post autor: kerajs » 10 paź 2015, o 08:54

1.
Punkty jednakowo odległe od dwóch punktów leżą na symetralnej odcinka o końcach w tych punktach.
Przecięcie symetralnej odcinka wierzchołek-ognisko z parabolą da dwa szukane punkty.

2.
\(8(x^2+2x)+9(y^2-2y)=55 \\ 8(x+1)^2+9(y-1)^2=72 \\ \frac{(x+1)^2}{(3)^2} +\frac{(y-1)^2}{(2 \sqrt{2}) ^2} =1\)
A to jest klik.

3.
Równania asymptot hiperbol: \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ , \ \ -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) to: \(y= \pm \frac{b}{a} x\)
Ty masz
\(y-3= \pm \frac{4}{3} (x-4)\)

Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna

Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Post autor: Frynio » 10 paź 2015, o 17:11

Jeju, wielkie dzięki! Już wszystko ogarnąłem. A mógłbym jeszcze zapytać co do tego pierwszego przykładu, czy te wyniki są dobre?: \(P_{1}(-2,5;1-\sqrt{2})\) oraz \(P_{2}(-2,5;1+\sqrt{2})\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Post autor: kerajs » 10 paź 2015, o 19:47

Prawie dobre, brakuje tylko dwóch kreseczek.
\(P_{1}=(- \frac{5}{2} \ ; \ -1-\sqrt{2})\) oraz \(P_{2}=(- \frac{5}{2} \ ; \ -1+\sqrt{2})\)

Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna

Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

Post autor: Frynio » 10 paź 2015, o 22:12

Yyy, tak, tak, jasne. Źle przepisałem z zeszytu. Dzięki bardzo!

ODPOWIEDZ