Matematyka.pl

Na ile sposobów można rozdać \(\displaystyle{ 12}\) nierozróżnialnych jabłek, \(\displaystyle{ 1}\) gruszkę i \(\displaystyle{ 1}\) śliwkę trójce dzieci, tak by każde dostało po przynajmniej jednym owocu?

Mój pomysł był taki żeby najpierw rozdać \(\displaystyle{ 14}\) jabłek trójce dzieci a później "podmienić" 2 jabłka na śliwkę i gruszkę. \(\displaystyle{ 14}\) jabłek mogę rozdać na \(\displaystyle{ {13\choose 2}}\) sposoby, ale przez ile pomnożyć teraz aby jabłka zastąpić śliwką i gruszką? Przez \(\displaystyle{ 9}\)?

Rozpatrzyłbym przypadki:
1) rozdaję jabłka, wszystkich możliwości będzie tyle ile jest rozwiązań w liczbach naturalnych równań:
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2} +x _{3}=3}\)
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2} +x _{3}=4}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2} +x _{3}=12}\)
2) do jabłek dodaję śliwkę \(\displaystyle{ 3 \cdot \text {wynik z pierwszego}}\) + wszystkie te możliwości gdzie ktoś ma jedną śliwkę, pozostali jabłka
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2}=2}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2}=12}\)
I to wszystko razy \(\displaystyle{ 3}\).
3) podobnie tylko że tym razem daję gruszke
4) daję gruszke i śliwke
Wyniki z pierwszego razy \(\displaystyle{ 9}\) + \(\displaystyle{ 3}\) razy wynik z drugiego + \(\displaystyle{ 2 \cdot 12}\)

Mi wyszło tak:

1. przypadek:
Jabłka dostają trzy osoby:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 , x_{i}>0}\)

Rozwiązań: \(\displaystyle{ {11 \choose 2}=55}\)

Ale wtedy śliwka i gruszka wędruje na: \(\displaystyle{ 3^2=9}\) - sposoby

będzie: \(\displaystyle{ 55 \cdot 9=495}\)

2.Jabłka dostaje tylko 2 osoby:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=12 , x_{i}>0}\)

Możliwości jest : \(\displaystyle{ {11 \choose 1}=11}\)

Równań będzie trzy, a śliwka i gruszka idą na 5 sposobów przy jednym równaniu bo na pewno śliwkę lub gruszkę musi dostać osoba która nie otrzyma jabłka

będzie: \(\displaystyle{ 11 \cdot 3 \cdot 5=165}\)

3. Jabłka dostaje tylko jedna osoba a wtedy możliwości jest trzy , oraz śliwka i gruszka wędrują do osób, które nic nie mają czyli dwie możliwości!

będzie: \(\displaystyle{ 3 \cdot 2=6}\)

Razem: \(\displaystyle{ 495+165+6=666}\)

Ja pomyślałem trochę inaczej, że nie musze rozdać wszystkich owoców.

Trzeba rozdać wszystkie bo by zgniły.