Matematyka.pl

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ 3sinx = 2 cos^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 3sinx - 2 cos^{2}x = 0 \\
cos^{2}x = z \\
- z^{2}+ 3sinx = 0\\
\Delta = 9}\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 3}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ cos x = 3 \lor cosx = 0}\)

czyli jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ cosx= 0}\), czyli

\(\displaystyle{ x\in ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi) , (\frac{3}{2}\pi+2k\pi)}\)

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem ?

Nie bardzo
\(\displaystyle{ 3 \sin x = 2 (1 - \sin^2 x)\\
2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\\
t = \sin x \quad \wedge t \in [-1,1]\\
2t^2 + 3 t - 2 = 0 \Rightarrow ( t = -2 \ \ \vee \ \ t = \frac{1}{2} ) \ \ \wedge t \in [-1,1] \Rightarrow t= \frac{1}{2}\\
\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \right) \ \ \vee \ \ \sin x = \sin \left( \frac{5}{6}\pi + 2 k \pi \right) \\
x = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \ \ \vee \ \ x = \frac{5}{6}\pi + 2 k \pi , \quad k \in \mathbb{C}}\)