Matematyka.pl

Mam zbadać, czy funkcja jest róznowartościowa
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{x} +2^{-x}}\)

Piękne zadanie. Po drodze występuje funkcja kwadratowa. Zacznij od zapisania definicji różnowartościowości dla tej funkcji. Tej mającej w poprzedniku równość wartości.

A najpierw zobacz, czym się różni \(\displaystyle{ f(x)}\) od \(\displaystyle{ f(-x)}\)

Podstawowe pytanie: jaka jest dziedzina?

Althorion pisze:Podstawowe pytanie: jaka jest dziedzina?

Słusznie: ale jak nic nie jest założone, to przyjmuje sie dziedzinę naturalną, w tym przypadku \(\displaystyle{ \RR}\)

W tym przypadku właśnie bardziej sensowną dziedziną wydała mi się \(\displaystyle{ \RR _+}\), stąd moje pytanie.

a4karo, no widzisz, przyjacielu, znów popadłem w rutynę. Moja wskazówka stosuje się oczywiście do \(\displaystyle{ g(x)=2^x-2^{-x}}\).

Gdy myślimy o \(\displaystyle{ \RR_+}\) to zadanie ma też bardzo eleganckie rozwiązanie:
jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest (ściśle) wypukła, to dla każdego \(\displaystyle{ a}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(a+x)+f(a-x)}\) jest (ściśle) rosnąca dla \(\displaystyle{ x\geq 0}\). (Oczywiście tak długo, jak długo argumenty leżą w dziedzinie \(\displaystyle{ f}\)).

Ponieważ \(\displaystyle{ 2^x}\) jest ścisle wypukła, to \(\displaystyle{ 2^x+2^{-x}}\) ściśle rosnie na dodatniej półosi