Matematyka.pl

Dlaczego w definicji funkcji rosnącej:

\(\displaystyle{ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in D_f}\) gdzie \(\displaystyle{ D_f}\) to dziedzina funkcji f

implikacji nie możemy zamienić na równoważność, tj. dlaczego z następnika nie wynika poprzednik? Jakiś kontrprzykład?

Tak się właśnie konstruuje definicje. „Jeśli coś chodzi jak kaczka, kwacze jak kaczka i wygląda jak kaczka, to jest kaczką”. W drugą stronę („kaczki chodzą, kwaczą i wyglądają jak kaczki”) to byłby opis.

Ponieważ jest ona zdefiniowana nie tylko dla zbiorów z porządkiem liniowym, ale również dla porządków częściówych. Jeśli zdefniujemy sobie:
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow N}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem potęgowym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3 \right\}}\) i nadamy zbiorowi \(\displaystyle{ A}\) porządek inkluzji (\(\displaystyle{ a < b \Rightarrow a \subset b}\)) a funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie przyporządkowywać nam do zbioru jego moc to wtedy następująca implikacja:

\(\displaystyle{ f(\left\{ 1 \right\}) < f(\left\{ 2, 3\right\}) \Rightarrow \left\{ 1 \right\} <\left\{ 2, 3\right\}}\)

jest fałszywa.

Natomiast w przypadku standardowym (porządku liniowego, czy raczej - o czym zapewne myślał Yuras - po prostu \(\displaystyle{ \RR}\)), te warunki dla funkcji rosnącej istotnie są równoważne.

JK

Mhm, ok. A co powiecie na:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x \Leftrightarrow x \in \left\langle 0, 1 \right\rangle \\ x - 3 \Leftrightarrow x \in \left\langle 3, 4\right\rangle \end{cases}}\)

Nie można o niej powiedzieć, że jest rosnąca?

Twój zapis tej funkcji jest niepoprawny, tam nie powinno być symbolu równoważności.

Ale domyślam się, o co Ci chodzi. I wtedy nie, taka funkcja nie jest rosnąca, jako że chociaż \(\displaystyle{ 1 < 3}\), to \(\displaystyle{ f(1) = 1 > 0 = f(3)}\). Jest ona, co najwyżej, rosnąca na każdym z przedziałów \(\displaystyle{ [0; 1]}\) i \(\displaystyle{ [3; 4]}\).

Gdyby ta funkcja była różnowartościowa to zapis byłby poprawny?

Nie. W definicji nowego obiektu (na przykład funkcji określonej różnymi wzorami na różnych zbiorach) nie można użyć równoważności w taki sposób.

Ok. Dlaczego?

Co by miało oznaczać, że \(\displaystyle{ x \Leftrightarrow x \in [0; 1]}\)? Po prawej stronie masz funkcję zdaniową (więc faktycznie coś, co można łączyć spójnikami logicznymi), po lewej liczbę.

To niedokładnie tak. Ten zapis mógłby być uznany za skrót zapisu \(\displaystyle{ \left( f(x)=x \Leftrightarrow x\in[0,1]\right) \land \left( f(x)=x-3 \Leftrightarrow x\in[3,4]\right)}\) i jako taki mógłby mieć sens formalny. Tym niemniej użycie takiego zapisu jako definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie wygląda najlepiej. Dużo bardzie pasuje "dla".

JK

Ok, dzięki