Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej wynosi \(\displaystyle{ 8}\), a kąt ostry \(\displaystyle{ 20^\circ}\). Rozwiąż ten trójkąt. (bez kalkulatora)

Zapisz wzór na pole trójkąta na dwa sposoby, porównaj je i skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa (ułóż odpowiedni układ równań).

Jak się rozwiązuje trójkąt, nauczy mnie ktoś?
Niestety, ale nie da rady wyliczyć dokładnej wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ 20^{\circ}}\) (ani \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\), co na jedno wychodzi), więc jeśli eliminujemy też użycie tablic z przybliżonymi wartościami f. trygonometrycznych, to robi się "trochę trudno".
BTW kiedyś w wakacje (chyba w 2013) próbowałem policzyć \(\displaystyle{ \sin 20^{\circ}}\) korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \sin 3\alpha=-4\sin^{3}\alpha+3\sin \alpha}\) (czy jakoś tak), ale rozwiązania równania
\(\displaystyle{ -4t^{3}+3t= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) są tak średnio zachęcające.
A tak, to wpisujesz przybliżoną wartość np. sinusa czy cosinusa i sobie liczysz z proporcji, nie wiem, jaki sens ma to zaznaczenie, że "bez kalkulatora".

Dziękuję.

Zaproponuję:

\(\displaystyle{ x = 8 \cdot \sqrt{1-\sin^2(20^{\circ})}}\)

\(\displaystyle{ y = 8 \cdot \sin(20^{\circ})}\)

To chyba wszystko co można osiągnąć bez kalkulatora, tablic i innych wspomagaczy.

athame, \(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin^{2}\left(20^{\circ}\right)}=\cos\left(20^{\circ}\right)}\)

Jasne. To jednak niewiele pomaga w precyzyjnym podaniu konkretnych liczb, z pozbyciem się funkcji trygonometrycznych.

Jeżeli można rozwiązać trójkąt prostokątny mając miary przeciwprostokątnej i jednego z kątów ostrych bez kalkulatora, to znaczy, że można rozwiązać ten trójkąt prostokątny sposobem platońskim. Ale jak po platońsku "wymierzyć" kąt \(\displaystyle{ \alpha =20^o}\)?

Czyli
\(\displaystyle{ x=8\cdot \cos (20^{\circ})\\
y=8\cdot \sin (20^{\circ})}\)
i nie można podać bardziej konkretnych liczb bez tablic itp. ?

aga150, nie można już więcej nic z tym zrobić bez tablic, kalkulatora lub innych liczących maszyn.

Ok, dzięki.