Matematyka.pl

Cześć,
mój problem dotyczy ciągu:
\(\displaystyle{ h_{n} = n \cdot h_{n-1}+h_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ h_{0} = 0}\)
\(\displaystyle{ h_{1} = 1}\)

Ogólnie mam pokazać, że \(\displaystyle{ h_{n} < 2n!}\). Zapewne łatwiej będzie pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{h_{n}}{n!} < 2}\).
Postanowiłem skorzystać z faktu, że granica górna ciągu rosnącego jest jego ograniczeniem. Pokazanie, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{h_{n}}{n!}}\) jest rosnący (dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)) jest banalne, ale już przy wyznaczeniu jego granicy pojawia się problem...
Próbowałem rozpisać parę kroków za pomocą wzoru, z myślą, że może uda mi się znaleźć wzór jawny, nie udało się (posłużyłem się również innymi metodami, aby go znaleźć, chyba jest to niemożliwe dla tego ciągu). Ma ktoś jakiś pomysł jak ugryźć ten przykład? Myślałem, też o indukcji, ale też mi nie wyszło. Chętnie wysłucham każdego pomysłu, który przybliży mnie do rozwiązania tego problemu

Nie jestem pewien czy to jest na pewno dobrze, ale tak wygląda.

Niech:
\(\displaystyle{ a_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{2}{k(k-1)} = 2 - \frac{2}{n}}\)

\(\displaystyle{ b_n = \frac{h_n}{n!}}\)

Teraz pokażemy, że \(\displaystyle{ a_n}\) ogranicza \(\displaystyle{ b_n}\)

Dla n=1 i n=2 sprawdzamy tezę ręcznie (w obydwóch przypadkach \(\displaystyle{ b_n = 1}\) a \(\displaystyle{ a_n > 1}\))

No to teraz krok indukcyjny

\(\displaystyle{ a_{k-1} > b_{k-1}}\)

\(\displaystyle{ b_k = \frac{h_k}{k!} = \frac{k \cdot h_{k-1}}{k!} + \frac{h_{k-2}}{k!}}\)

\(\displaystyle{ \frac{k \cdot h_{k-1}}{k!}= \frac{h_{k-1}}{(k-1)!} = b_{k-1} < a_{k-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h_{k-2}}{k!} = \frac{b_{k-2}}{k \cdot (k-1)} < \frac{a_{k-2}}{k \cdot (k-1)} < \frac{2}{k \cdot (k-1)}}\)

Po przeniesieniu nierówności:

\(\displaystyle{ b_k < a_{k-1} + \frac{2}{k \cdot (k-1)} = a_k < 2}\)

Chyba nie ma błędu

Też mi się wydaje, że jest dobrze
Dziękuje!