Matematyka.pl

Obliczyć granice ciągów.

a) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k}}\)

1. Suma szeregu marmonicznego do \(\displaystyle{ n}\)tego wyrazu jest mniejsza niż
\(\displaystyle{ \ln n}\) mianownik zbiega do nieskoń zoności szybciej liż licznik. Czyli granica to. Zachodzi oszacowanie \(\displaystyle{ H_{n} < \ln n + \gamma}\),

Ad b) Skojarz ją z pewną sumą całkową
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=..}\)

Kartezjusz pisze:1. Suma szeregu marmonicznego do \(\displaystyle{ n}\)tego wyrazu jest mniejsza niż
\(\displaystyle{ \ln n}\) mianownik zbiega do nieskoń zoności szybciej liż licznik. Czyli granica to. Zachodzi oszacowanie \(\displaystyle{ H_{n} < \ln n + \gamma}\),

Z \(\displaystyle{ a_n<b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_{n}=+\infty}\) nie wynika \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_{n}}=0}\) (na przykład \(\displaystyle{ a_n=n, b_n=n+1, n\in\NN}\)).

Akurat tamta pierwsza granica to \(\displaystyle{ 1}\).

Można z trzech ciągów używając jakiegoś oszacowania na \(\displaystyle{ H_{n}}\) np.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2(n+1)} < H_{n} - \ln n - \gamma < \frac{1}{2n}}\)


Drugie trzeba zauważyć że to \(\displaystyle{ H_{2n} - H_{n}}\) i tak samo zrobić. Powinno wyjść \(\displaystyle{ \ln 2}\)

Moźna chyba tak:

Dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}<H_n-\ln n < 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2\ln n}+1<\frac{H_n}{\ln n}<\frac{1}{\ln n} +1}\)-- 25 wrz 2015, o 13:44 --A drugie można tak:

\(\displaystyle{ H_{2n}-H_n=\ln (2n) +c_{2n}-\ln n -c_{n}=\ln 2 +c_{2n}-c_n\to \ln 2 +\gamma -\gamma= \ln 2}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_n=H_n-\ln n}\)