Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a=b}\)to daje \(\displaystyle{ a=b=0}\). Odzucamy. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy \(\displaystyle{ b<a}\)
Możemy zapisać równanie w postaci
\(\displaystyle{ a+b=2^{b-1}(2^{a-b}-1)}\)

Oczywiście stwierdzamy, że \(\displaystyle{ a \ge b}\) . Wykluczmy ponadto przypadek:

\(\displaystyle{ a = b+1}\)

\(\displaystyle{ 2b+1 = 2^{b-1}}\), Dana równość jest oczywiście sprzeczna (lewa strona nieparzysta, prawa taka jest tylko dla \(\displaystyle{ b=1}\) , jednak wtedy lewa strona jest parzysta.)

Przejdźmy do rozwiązania:

Przypominam:

\(\displaystyle{ 2^{a-1} - a = 2^{b-1} + b}\)

\(\displaystyle{ 2^{a-1} - a > 2^{a-2}}\)

\(\displaystyle{ 2^{b-1} + b < 2^{b}}\)

Dwie powyższe nierówności prawdziwe są już dla \(\displaystyle{ a,b > 4}\) . Ich prawdziwość udowadniamy chociażby z pochodnych.

Od razu wnioskujemy, że dla \(\displaystyle{ b > 4}\) musi być spełniona nierówność:

\(\displaystyle{ 2^{b} > 2^{a-2}}\)

\(\displaystyle{ a < b+2}\) , czyli dla \(\displaystyle{ b > 4}\) , musimy rozpatrzeć tylko przypadki: \(\displaystyle{ a=b}\) oraz \(\displaystyle{ a = b+1}\). Jeden jest trywialny, a drugi sprzeczny, co już zdążyliśmy pokazać.

Tak więc rozwiązania muszą znajdować się w tych przedziałach:

\(\displaystyle{ a,b \le 4}\). Potencjalnych rozwiązań jest więc skończona ilość.

Jeszcze wypada sprawdzić co sie dzieje jak \(\displaystyle{ b}\) jest małe, a \(\displaystyle{ a}\) duże :p

Sprawdzamy co się dzieje jak \(\displaystyle{ a=b}\). Teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ a > b}\).

\(\displaystyle{ a+b < 2a}\)

\(\displaystyle{ 2^{a-1} - 2^{b-1} \ge 2^{a-2}}\).

Tak więc: \(\displaystyle{ 2a > 2^{a-2}}\).

\(\displaystyle{ a > 2^{a-3} \Rightarrow a < 6}\)

a jako, że \(\displaystyle{ a \ge b}\) to \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\right\} ^{2}}\)

Więc możliwości jest skończenie wiele.