Matematyka.pl

Mix - kartka z średniotrudnymi


1. Ile to jest \(\displaystyle{ \int \sqrt{1- \sin(2x)} dx}\) ?
2. Cząstka startuje z punktu zerowego. Niech \(\displaystyle{ S_n}\) będzie położeniem cząstki (tj. odległością od zera) po \(\displaystyle{ n}\) ruchach (cząstka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) przesuwa się w prawo , a z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q=1-p}\) w lewo o odcinek jednostkowy). Obliczyć \(\displaystyle{ E((\frac{p}{q})^{S_n})}\).
3. Wyznaczyć styczne do wykresu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+3x^2}{3+x^2}}\) tak, by ich punkt wspólny oraz punkty styczności były wierzchołkami trójkąta prostokątnego
4. Udowodnić, że dowolny trójkąt Herona jest dany :
\(\displaystyle{ \begin{cases}a =u(v + \frac{1}{v}) \\ b= u(w+ \frac{1}{w}) \\c= u(v - \frac{1}{v}+ w - \frac{1}{w} ) \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u, v, w \in Q}\);
5. Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ 3y^2=x^4+x}\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych
6. Udowodnić, że dla dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ n(n-1)^{(n-1)^n +1} +n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ ((n-1)^n +1)^2}\)
Czy podzielność ta jest także gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste ?
7. Dany jest zbiór słów: ciągów zero-jedynkowych ośmiowyrazowych. Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą słowami różniącymi się trzema wyrazami. (tj. \(\displaystyle{ d(x, y)= | \{ j : x_j \neq y_j \} | = 3}\) ) Ile jest słów \(\displaystyle{ z}\) takich że \(\displaystyle{ d(x,z) \geq 5}\) i \(\displaystyle{ d(y,z) \geq 5}\) ?
Czy odpowiedź zależy od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ?
8. Dany jest okrąg i prosta \(\displaystyle{ l}\) mająca z nim punkty wspólne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz jest punkt \(\displaystyle{ P \in l}\). Jak skonstruować prostą \(\displaystyle{ l}\), która ma z okręgiem punkty wspólne \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ B_1}\) aby \(\displaystyle{ AB_1 + BA_1}\) było możliwie największe ?
9. Czy istnieje wielościan, którego każdy przekrój jest trójkątem ?
10. Rozwiązać równanie (algebraicznie i graficznie)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+13} - \sqrt{x+2}}\)
11. W zbiorze słów \(\displaystyle{ n}\) literowych zbudowanych z liter \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) wzięte są te, które nie mają dwóch jedynek następujących po sobie. Udowodnić, że jest ich \(\displaystyle{ (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}})(\sqrt{3}+1)^n}\) w zaokrągleniu do najbliższej liczby całkowitej.
12. Czy każdy graf który ma 10 wierzchołków i 10 krawędzi ma też cykl ?
13. Sfera o środku \(\displaystyle{ O}\) jest wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) i styka się z jego ścianami w punktach \(\displaystyle{ K, L, M, N}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ O}\) jest w czworościanie \(\displaystyle{ KLMN}\)
14. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)
15. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie zbiorem wszystkich liczb w formie \(\displaystyle{ 1+ \frac{a_1}{\sqrt{2}} + \frac{a_2}{\sqrt{2}^2}+ …+ \frac{a_n}{\sqrt{2}^n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_j \in \{ -1, 1 \}}\) dla \(\displaystyle{ j =1, …, n}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{x , y \in A_n \ x \neq y} xy}\)
16. Usunąć tu niewymierność \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{4}}}\)
17. Wykazać nierówność \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \leq \int_{<0, 1>} \frac{dx}{\sqrt{2+x- x^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

14. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y^{\prime}= \frac{1}{xy(xy^2+1)}}\)

Lbubsazob,

6.

1. Ile to jest \(\displaystyle{ \int \sqrt{1- \sin(2x)} dx}\) ? yorgin, dzięki za komentarz.

-- 18 wrz 2015, o 22:32 --
-- 19 wrz 2015, o 10:31 --

Zadanie jedenaste:(11)


W zadaniu (15)(zarys)

Zadanie siódme (7):
Zadanie (12)

15 cd; Jako problem 75 z Nierozwiązanych

wystarczy zauważyć, że każdą taką liczbę można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^k})+(2- \frac{1}{2^{n+1-k}}) , k=0,...,n}\)

\(\displaystyle{ x_{l}= \sqrt{2}(1- \frac{1}{2^l})+(2- \frac{1}{2^{n+1-l}}) , l=0,...,n}\)

trzeba znaleźć sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k,l ,k \neq l}^{}x_{k}x_{l}}\)

tu niezby kumam, ale chyba w zadaniu najpierw trzeba udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) takich wyrażen ma \(\displaystyle{ 2^n}\) elementów.

15 cd -- 3 lipca 2016, 17:25 --Nierozwiazane są wciąz zadania:
3, 4, 5, 8, 10, 13 i 14

8.
Tu chyba jest niepełna treść gdyż nie korzystamy z punktu P, a skoro najdłuższe odcinki miedzy punktami okręgu to średnice więc konstrukcja staje się zbyt trywialna.

arek1357 pisze: Zadanie (12)

Jest takie twierdzenie, które nam mówi:

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie G jest nie mniejszy niż 2, to graf G zawiera cykl.

a w naszym zadaniu jest 10 krawędzi i dziesięć wierzchołków czyli przynajmniej jeden wierzchołek musi mieć dwie krawędzie a więc zgodnie z twierdzeniem posiada cykl!

To rozwiązanie to ordynarny blef.
Twierdzenie owszem istnieje, ale ten graf nie spełnia warunków tego twierdzenia. Wystarczy wziąć drzewo o \(\displaystyle{ 10}\) wierzchołkach z jedną dodatkową krawędzią - wtedy to drzewo może mieć jakieś liście, czyli najmniejszy stopień wierzchołka to \(\displaystyle{ 1}\).

Poprawne rozwiązanie:
Nie wprost. Załóżmy, że ten graf nie ma cyklu - wtedy składa się z samych drzew. Jak wiadomo, drzewo o \(\displaystyle{ x}\) wierzchołkach ma \(\displaystyle{ x - 1}\) krawędzi.
Załóżmy, że graf składa się z \(\displaystyle{ n \ge 1}\) drzew, a \(\displaystyle{ x_{i}}\) to ilość wierzchołków \(\displaystyle{ i}\)-tego drzewa.
Wtedy \(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+...+x _{n}=10}\)
Ten graf ma \(\displaystyle{ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 + ... + x_{n} - 1 = x_{1}+ x_{2}+...+x _{n} - n =10 - n < 10}\) krawędzi, sprzeczność, czyli ten graf ma cykl, c.n.d.

13.