Matematyka.pl

Ostatnio na MO pojawiło się :

• Czy istnieje taka grupa abelowa \(\displaystyle{ A}\), która jest izomorficzna z \(\displaystyle{ A\oplus \mathbb{Z}^2}\), ale nie z \(\displaystyle{ A\oplus \mathbb{Z}}\).

Równoważnie, przechodząc do grupy dualnej Pontriagina, można zapytać:

• Czy istnieje taka abelowa grupa zwarta \(\displaystyle{ G}\), że która jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z \(\displaystyle{ G\oplus \mathbb{T}^2}\), ale nie z \(\displaystyle{ G\oplus \mathbb{T}}\)?

Powyżej \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\) oznacza okrąg.

Interesuje mnie słabsza wersja problemu:

• Czy istnieje taka przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ K}\), która jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ K\times \mathbb{T}^2}\) ale nie z \(\displaystyle{ K\times \mathbb{T}}\)?

A mogę się dla potrzeb tego problemu dopytywać o elementy Twojej wiedzy?. Często to będą głupie pytania jak się okaże. Pierwsze z pytań.
Czy homeomorfizmy zachowują wymiar? Jest szansa, że \(\displaystyle{ A}\) jeśli będzie pierścieniem domkniętym ( w sensie topologicznym) jest obiektem dwuspójnym to \(\displaystyle{ A \times \mathbb{T}}\)to będzie torus z wydrążonym tunelem, który będzie obszarem trójspójnym, jenak dalsze produktowanie z okręgiem intuicyjnie zasklepi ten tunel. Zostanie znowu jedna dziura- ta po tym okręgu.
Jeśli gadam głupoty- proszę o wyrozumiałość :-D

Tak, homeomorifzmy zachowują wymiar. Zdaje się, że chcesz operawać z rzeczami lokalnie homeomorficznymi z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) - to nie jest dobra strategia, bo dla takich przestrzeni

• \(\displaystyle{ \dim (X\times Y) = \dim X + \dim Y.}\)

W szczególności, \(\displaystyle{ K}\) nie jest lokalnie homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Nie jest nawet pewne, czy jeżeli \(\displaystyle{ K}\) istnieje to jest w ogóle metryzowalne.

Tak też czułem, czyli zabawa przejdzie zapewne do przestrzeni Polskich, gdzie prawo projekcji niekoniecznie zachodzi.

Przestrzenie metryczne zwarte są polskie. Nie zakładam jednak metryczności.

Take przestrzeń \(\displaystyle{ K}\) ma następujące własności:

1. Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) istnieje rzut (kanoniczny) \(\displaystyle{ \pi_n:K\to \mathbb{T}^n}\).
2. Nie istnieje rzut \(\displaystyle{ \pi_\infty:K\to\mathbb{T}^\infty}\).

Podobną sytuację mamy na przykład w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ c_0(\mathbb{R})}\) ciągów zbieżnych do zera. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest homeomorficzna ze składnikiem prostym w \(\displaystyle{ c_0}\). Wobec tego kostki dowolnego skończonego wymiaru \(\displaystyle{ [0,1]^n}\) można zanużyć w \(\displaystyle{ c_0}\), ale kostki nieskończonego wymiaru nie można.

Stąd idea konstrukcji:

Niech \(\displaystyle{ D=B\times B}\), gdzie \(\displaystyle{ B=\{z\in\mathbb{C}:|z|\le 1\}}\) oraz niech \(\displaystyle{ D^\infty}\) oznacza nieskończony przeliczalny produkt przestrzeni \(\displaystyle{ D}\). Elementy \(\displaystyle{ D}\), czyli pary \(\displaystyle{ (\sigma_1,\sigma_2)=s}\) dla \(\displaystyle{ \sigma_i\in B}\) mnożymy przez liczby po współrzędnych: \(\displaystyle{ \alpha s=\alpha(\sigma_1,\sigma_2)=(\alpha\sigma_1,\alpha\sigma_2)}\)

Połóżmy \(\displaystyle{ K_n=\{(s_1,s_2,\ldots)\in D^\infty:0\le i \le n\Rightarrow is_i\in D\}}\).

Wówczas \(\displaystyle{ K=\bigcap K_i}\) jest zwartą podprzestrzenią \(\displaystyle{ D^\infty}\) spełniającą 1. i 2.. Dalej mam jedynie mglistą ideę. Trzeba oczywiście pokazać, że \(\displaystyle{ K\times\mathbb{T}\not\simeq K}\).

hannahannah pisze: Podobną sytuację mamy na przykład w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ c_0(\mathbb{R})}\) ciągów zbieżnych do zera. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest homeomorficzna ze składnikiem prostym w \(\displaystyle{ c_0}\). Wobec tego kostki dowolnego skończonego wymiaru \(\displaystyle{ [0,1]^n}\) można zanużyć w \(\displaystyle{ c_0}\), ale kostki nieskończonego wymiaru nie można.

Nie wiem czy rozumiem co tutaj masz na myśli. Dla każdej ośrodkowej przestrzeni metycznej istnieje włożenie Lipschitzowskie w \(\displaystyle{ c_0}\). To jest .

Idea zrodziła się pewnie z ignorancji, dlatego nie wyrywałam się specjalnie do jego pokazania, ha ha. Chodziło mi o zanurzenie kanoniczne, czyli że \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest homeomorficzna produktem \(\displaystyle{ [0,1]^\infty \times X}\), bo na tym polega próba konstrukcji kontrprzykładu: gdyby przy oznaczeniach z mojego poprzedniego postu \(\displaystyle{ K\simeq D^\infty\times X}\), to przykład nie ma szans działać. Nie oznacza to jednak, że \(\displaystyle{ K}\) nie zawiera podprzestrzeni homeomorficznej z \(\displaystyle{ D^\infty}\). Ale również te stwierdzenia nie są dla mnie jasne.

Może lepszą ilustracją będą dwie grupy abelowe:

\(\displaystyle{ P}\) - zbiór nieskończonych przeliczalnych ciągów liczb całkowitych z operacją dodawania po współrzędnych.

\(\displaystyle{ B}\) - zbiór nieskończonych przeliczalnych ciągów liczb całkowitych o prawie wszystkich współrzędnych zerowych, również z dodawaniem po współrzędnych.

Każda wolna skończenie generowana grupa abelowa jest składnikiem prostym \(\displaystyle{ B}\), ale \(\displaystyle{ P}\) nie jest.