Matematyka.pl

Cześć wam, rozwiązując zadania dotyczące granic funkcji natknąłem się na taki przykład :

"Niech funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) będą nieujemnymi funkcjami określonymi na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich o nieujemnych pochodnych, czy równość \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = const. \neq 0 \neq \pm \infty}\) implikuje \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{ \mbox{d}f(x) }{ \mbox{d}x}}{\frac{ \mbox{d}g(x) }{ \mbox{d}x)}} = const. \neq 0 \neq \pm \infty}\) ? "


Domyślam się, że tak nie jest dla wszystkich funkcji ponieważ zgodnie z regułą de l'Hospital równość taka zachodzi dla funkcji \(\displaystyle{ f(x),g(x) \to \ \pm \infty / 0}\) ale nie ma nic o funkcjach dążących do jakichś granic będącymi liczbami rzeczywistymi różnymi od \(\displaystyle{ 0}\), nie mogę wymyślić kontrprzykładu ponieważ granice z funkcji dążących do stałych liczb w nieskończoności są trudne do policzenia. Prosiłbym o pomoc, jakąś podpowiedź jak taki kontrprzykład wymyślić

Jakby kogoś interesowało to wymyśliłem kontrprzykład, i oto on:


\(\displaystyle{ f(x) = 2^{- \frac{1}{x}}}\)

\(\displaystyle{ g(x) = 3^{-\frac{1}{x^{2}}}}\)

Ponieważ zachodzi :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left( -\frac{1}{x}\right) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}\left(2^{- \frac{1}{x}} \right) =1}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}\left(3^{- \frac{1}{x^{2}}} \right) =1}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left( \frac{2^{- \frac{1}{x}}}{3^{- \frac{1}{x^{2}}}}\right) = 1 = const. \neq 0 \neq \infty}\)

pochodne powyższych funkcji:


\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f(x) }{ \mbox{d}x } = \ln (2) \cdot \frac{2^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}g(x) }{ \mbox{d}x } = \ln (3) \cdot \frac{3^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left( \frac{ \mbox{d}f(x)}{ \mbox{d}g(x) } \right) = \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \cdot \lim_{x \to \infty}\left( x \cdot \frac{2^{- \frac{1}{x}}}{3^{- \frac{1}{x^{2}}}} \right) = \left[ (+ \infty) \cdot 1\right] = + \infty}\)

\(\displaystyle{ \blacksquare}\)