Dwa ciągi liczbowe i ich okres
: 14 wrz 2015, o 20:31
Witam serdecznie,
Nie byłem pewny w jakim dziale umieścić temat. Ewentualnie proszę o przeniesienie.
Mam prośbę o dowód poprawności pewnego twierdzenia. Jeżeli nie jest prawidłowe to prośba dotyczy tego wytknięcia
Mamy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ a_{i}}\), w którym zawsze występuje cykl. Przykładowo niech będzie to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5...}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_{0} = 1 \\
a_{1} = 2 \\
a_{2} = 3 \\
a_{3} = 4 \\
a_{4} = 5 \\
a_{i} = a_{i \% 5}}\)
Na podstawie tego ciągu generujemy inny ciąg liczbowy \(\displaystyle{ n_{i}}\) według następującej reguły:
\(\displaystyle{ n_{0} = a_{x + k \cdot 0} \\
n_{1} = a_{x + k \cdot 1} \\
n_{2} = a_{x + k \cdot 2} \\
n_{i} = a_{x + k \cdot i}}\)
Dla przykładu weźmy \(\displaystyle{ x = 2}\) i \(\displaystyle{ k = 3}\):
\(\displaystyle{ n_{0} = a_{2 + 3 \cdot 0} = a_{2} = 3 \\
n_{1} = a_{2 + 3 \cdot 1} = a_{5} = 1 \\
n_{2} = a_{2 + 3 \cdot 2} = a_{8} = 4 \\
n_{3} = a_{2 + 3 \cdot 3} = a_{11} = 2 \\
n_{4} = a_{2 + 3 \cdot 4} = a_{14} = 5 \\
n_{5} = a_{2 + 3 \cdot 5} = a_{17} = 3 \\
n_{6} = a_{2 + 3 \cdot 6} = a_{20} = 1}\)
...
Udowodnić należy że ciąg \(\displaystyle{ n_{i}}\) także zawsze jest okresowy dla dowolnego ciągu wejściowego \(\displaystyle{ a_{i}}\) (także okresowego) i dowolnych zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem ale jednak jakiś błąd możliwy
Bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Nie byłem pewny w jakim dziale umieścić temat. Ewentualnie proszę o przeniesienie.
Mam prośbę o dowód poprawności pewnego twierdzenia. Jeżeli nie jest prawidłowe to prośba dotyczy tego wytknięcia
Mamy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ a_{i}}\), w którym zawsze występuje cykl. Przykładowo niech będzie to:
\(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5...}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_{0} = 1 \\
a_{1} = 2 \\
a_{2} = 3 \\
a_{3} = 4 \\
a_{4} = 5 \\
a_{i} = a_{i \% 5}}\)
Na podstawie tego ciągu generujemy inny ciąg liczbowy \(\displaystyle{ n_{i}}\) według następującej reguły:
\(\displaystyle{ n_{0} = a_{x + k \cdot 0} \\
n_{1} = a_{x + k \cdot 1} \\
n_{2} = a_{x + k \cdot 2} \\
n_{i} = a_{x + k \cdot i}}\)
Dla przykładu weźmy \(\displaystyle{ x = 2}\) i \(\displaystyle{ k = 3}\):
\(\displaystyle{ n_{0} = a_{2 + 3 \cdot 0} = a_{2} = 3 \\
n_{1} = a_{2 + 3 \cdot 1} = a_{5} = 1 \\
n_{2} = a_{2 + 3 \cdot 2} = a_{8} = 4 \\
n_{3} = a_{2 + 3 \cdot 3} = a_{11} = 2 \\
n_{4} = a_{2 + 3 \cdot 4} = a_{14} = 5 \\
n_{5} = a_{2 + 3 \cdot 5} = a_{17} = 3 \\
n_{6} = a_{2 + 3 \cdot 6} = a_{20} = 1}\)
...
Udowodnić należy że ciąg \(\displaystyle{ n_{i}}\) także zawsze jest okresowy dla dowolnego ciągu wejściowego \(\displaystyle{ a_{i}}\) (także okresowego) i dowolnych zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem ale jednak jakiś błąd możliwy
Bardzo dziękuję za wszelką pomoc.