Matematyka.pl

Jak można wykazać, że twierdzenie Jordana ( okrąg topologiczny leżący w \(\displaystyle{ \RR\times\RR}\) rozcina płaszczyznę na dwa obszary i jest brzegiem każdego z nich) zachodzi również na sferze \(\displaystyle{ S^2}\)?

NO i jeszcze chciałam sie zapytać dlaczego jeśli pokażę, że krzywa zwykła zamknięta rozcina sferę \(\displaystyle{ S^2}\) a nie istnieje krzywa zwykła zamknięta która rozcinałaby torusa \(\displaystyle{ S\times S}\) dlaczego to implikuje że sfera \(\displaystyle{ S^2}\) nie jest homeomorficzna z torusem \(\displaystyle{ S\times S}\)?

Z góry dziękuję za pomoc
Pozdrawiam
Monika

wybierasz punkt, ktory nie nalezy do tej petli i robisz rzut stereograficzny wzgledem niego. jest on homeomorfizmem miedzy \(\displaystyle{ S^2 \setminus \{ p \}}\) a \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). spojnosc jest niezmiennikiem homeomorfizmow, wiec jak t.J. zachodzi na plaszczyznie to zachodzi rowniez na \(\displaystyle{ S^2 \setminus \{ p \}}\). potem juz wystarczy tylko dolozyc ten punkt.
w homeomorfizmie petla przejdzie na petle, a 2 kawalki sfery (niespojne) przejda na torus bez petli (spojny). zatem sprzecznosc.

oki dzięki