Matematyka.pl

Dane jest pole wektorowe \(\displaystyle{ \vec{A}= \begin{cases} 4\rho \vec{i _{\phi} } &\text{dla } \rho \le 0.5 \\ \frac{\vec{i _{\phi} } }{\rho} &\text{dla } \rho>0.5 \end{cases}}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ \oint_l \vec{A} \cdot \mbox{d} \vec{l}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest kołem jednostkowym w płaszczyźnie Oxy przy pomocy twierdzenia Stokesa.

Mój problem dotyczy rotacji.W rozwiązaniu jest :
Dla \(\displaystyle{ \rho \le 0.5}\) :
\(\displaystyle{ \nabla\times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{ i _{z}}{\rho} & \frac{i _{\rho} }{\rho}&i _{\phi}\\ \frac{ \partial }{ \partial z} &\frac{ \partial }{ \partial \rho}&\frac{ \partial }{ \partial \phi}\\0&0&4\rho^2\end{array}\right|=8 \vec{i_z}}\)

Tutaj nie rozumiem 3 rzeczy :
a) Dlaczego stosuje się \(\displaystyle{ \frac{ i _{z}}{\rho}, \frac{i _{\rho} }{\rho}}\) zamiast odpowiednio \(\displaystyle{ i _{z},i _{\rho}}\) skoro to one są wersorami ?
b) Mi z tego wyznacznika wychodzi \(\displaystyle{ 4}\) ,a nie \(\displaystyle{ 8}\).
c) Dlaczego w ogóle jest tam \(\displaystyle{ 4\rho^2}\) ? Nie powinno być \(\displaystyle{ 4\rho}\) ?

znajdź sobie w tabelce jakim wzorem wyraża się rotacja we współrzędnych cylindrycznych. Jeżeli nie chcesz brać na wiarę, w necie na pewno łatwo znajdziesz wyprowadzenie, ale nie jest ono zbyt eleganckie. Widać tam skąd bierze się dodatkowe 'ro' w pochodnej, które daje 8 zamiast 4 w końcowym wyniku (Ty dostałeś 4 gdyż jak przypuszczam najpierw podzieliłeś przez ro a potem wziąłeś pochodną - musisz pamiętać o kolejności operatorów!), jak również 1/ro poza pochodną, które kasuje pozostałe ro; w ten sposób nie mamy już promienia w wyniku końcowym.

Jeżeli chodzi o wersory to sprawa wygląda tak samo. Zauważ, że przed nawiasami dla współrzędnych z i ro stoją dodatkowe dzielenia przez ro. Jeżeli chcesz wiedzieć dokładnie skąd - ponownie odsyłam do wyprowadzenia wzoru na rotację.

a)Czyli rozumiem że jakbym policzył \(\displaystyle{ \nabla\times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{ i _{z}}{\rho} & \frac{i _{\rho} }{\rho}&i _{\phi} \\ \frac{ \partial }{ \partial z} &\frac{ \partial }{ \partial \rho}&\frac{ \partial }{ \partial \phi}\\A_z&A_{\rho}&A_{\phi}\end{array}\right|}\) to bym otrzymał ten wzór ?

b)Ok

c)Coś o tym możesz powiedzieć ?

a) Nie rozumiem, co masz na myśli. Wzór z linku ma dosyć żmudne wyprowadzenie, wzór to końcowy wynik tegoż wyprowadzenia.

c) Powiedziałem Jeżeli popatrzysz jeszcze raz na wzór z linku, który jest tym samym co pseudowyznacznik który napisałeś, tyle, że w formie już rozwiniętej, to zobaczysz, że w pierwszym czynniku w nawiasie przy współrzędnej zetowej, wewnątrz pochodnej masz dodatkowe ro. Stąd to ro do kwadratu w Twoim wyznaczniku. Gdy liczysz wyznacznik, jednym z członów będzie:

\(\displaystyle{ \frac{i_z}{ \rho} \frac{ \partial (4 \rho^2)}{ \partial \rho}}\)

i to jest dokładnie to samo, co w linku. upraszczając:

\(\displaystyle{ \frac{i_z}{ \rho} \frac{ \partial (4 \rho^2)}{ \partial \rho} =\frac{i_z}{ \rho} 8\rho = 8 i_z}\)