Matematyka.pl

Witam, mam takie zadanie - Są do wyboru 3 gatunki kwiatów, robimy bukiet składający się z maksymalnie 12 kwiatów. W każdym bukiecie musi znajdować się co najmniej jedna róża. Ile bukietów można utworzyć ?
Myślałem, żeby zrobić to w ten sposób, że domyślnie przyporządkowujemy jedną różę do bukietu, a resztę kwiatów dobieramy poprzez kombinacje z powtórzeniami, zatem wychodzi coś takiego:\(\displaystyle{ \frac{13!}{11! \cdot 2!} + \frac{12!}{10! \cdot 2!} + \frac{11!}{9! \cdot 2!} + ... + \frac{2!}{0! \cdot 2!}}\) Czy mój tok rozumowania jest prawidłowy ? Z góry thx.

Myślałem, żeby zrobić to w ten sposób, że domyślnie przyporządkowujemy jedną różę do bukietu, a resztę kwiatów dobieramy poprzez kombinacje z powtórzeniami.

To rozumowanie według mnie jest jak najbardziej prawidłowe. Nie rozumiem jednak skąd otrzymałaś taką zależność?

Jeżeli skorzystamy z twojego rozumowania oraz założymy, że bukiet to zbiór kwiatów (ich kolejność jest nieistotna), który posiada co najmniej jedną różę, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ A_{i}}\) (ilość możliwych bukietów przy i kwiatach)
\(\displaystyle{ A_{i} = 3^{i-1}}\) ( na \(\displaystyle{ i-1}\) miejscach mogę ustawić 3 kwiaty, a na \(\displaystyle{ i}\) musi być róża)

Wtedy ilość wszystkich możliwych bukietów to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{12} 3^{i-1}}\).

Użyłem permutacji z powtórzeniami, gdzie liczba gatunków kwiatów oznacza ilość elementów, z których tworzymy zestawienie, a liczba kwiatów w bukiecie to ilość elementów w zestawieniu. Przy czym ilość kwiatów w bukiecie w każdym przykładzie jest pomniejszona o \(\displaystyle{ 1}\), ze względu na to, że jedno miejsce jest już zarezerwowane dla róży. Liczba kwiatów w bukiecie ma wynosić maksymalnie \(\displaystyle{ 12}\), zatem sprawdzamy również dla przypadków, gdy ich liczba wynosi \(\displaystyle{ 11,10,9,...,1}\), a później sumujemy otrzymane kombinacje. W taki sposób otrzymałem ten wynik i nie rozumiem trochę, skąd u Ciebie wzięła się wariacja z powtórzeniami. Przecież wtedy istotna jest również kolejność, a jak sam napisałeś, w naszym przypadku nie ma to znaczenia. Będę wdzięczny za wyjaśnienie mi tego.

WhiteRabbit7, Twoja odpowiedź i rozumowanie są OK.

WhiteRabbit7 pisze:Użyłem permutacji z powtórzeniami, gdzie liczba gatunków kwiatów oznacza ilość elementów, z których tworzymy zestawienie, a liczba kwiatów w bukiecie to ilość elementów w zestawieniu. Przy czym ilość kwiatów w bukiecie w każdym przykładzie jest pomniejszona o \(\displaystyle{ 1}\), ze względu na to, że jedno miejsce jest już zarezerwowane dla róży. Liczba kwiatów w bukiecie ma wynosić maksymalnie \(\displaystyle{ 12}\), zatem sprawdzamy również dla przypadków, gdy ich liczba wynosi \(\displaystyle{ 11,10,9,...,1}\), a później sumujemy otrzymane kombinacje. W taki sposób otrzymałem ten wynik i nie rozumiem trochę, skąd u Ciebie wzięła się wariacja z powtórzeniami. Przecież wtedy istotna jest również kolejność, a jak sam napisałeś, w naszym przypadku nie ma to znaczenia. Będę wdzięczny za wyjaśnienie mi tego.

Nie ma czego wyjaśniać, pomyliłem się.