Stabilność rozwiązania
: 12 wrz 2015, o 17:56
Cześć!
Mam do zbadania stabilność rozwiązania numerycznego równania różniczkowego. Równanie do rozwiązania to:
\(\displaystyle{ y' = -3y + 2e^{-x}}\)
używając metody Leapfrog'a. Schemat ten pozwala znaleźć kolejny wyraz an podstawie dwóch poprzednich:
\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2hf(x_n, y_n)}\)
gdzie f to prawa strona pierwszego równania.
Używając tej metody, dostajemy równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2h(-3y_n + 2e^{-nh})}\). Rozwiązuję najpierw:
\(\displaystyle{ y_{n+2} + 6hy_{n+1} - y = 0}\)
zgadując rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \alpha r^{n}}\)
otrzymuję równanie kwadratowe z dwoma pierwiastami:
\(\displaystyle{ r_1 = -3h + \sqrt{9h^2+1}}\), \(\displaystyle{ r_2 = 3h + \sqrt{9h^2+1}}\).
Dalej zgaduję, że pełne równanie ma rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \beta e^{-nh}}\). Otrzymuję w ten sposób
\(\displaystyle{ \beta = \frac{4h}{e^{-2h} + 6e^{-h} - 1}}\).
Używając warunków początkowych \(\displaystyle{ y_0 = 0}\), \(\displaystyle{ y_1 = 2h}\) znajduję stałe A i B w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y_n = Ar_1^n + Br_2^n + \beta e^{-nh}}\). Stałe te wyglądają dość koszmarne i zależą od h w dosyć skomplikowany sposób:
\(\displaystyle{ A = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} -3 \beta h-1}{6h}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} +3 \beta h-1}{6h}}\)
Liczyłem wszystko kilka razy i wygląda na to, że jest w porządku. Jednakże w dalszej części zadania muszę wykazać, że rozwiązanie to jest niestabilne oraz mam znaleźć jak ta niestabilność zależy od h. Ponadto mam pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ h \rightarrow 0, n \rightarrow \infty}\) tak, że \(\displaystyle{ x = nh}\) jest stałe, to rozwiązanie zbiega się do analitycznego rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y = e^{-x} - e^{-3x}}\). Nie mam pojęcia, skąd wziąć to -3x.
Mam do zbadania stabilność rozwiązania numerycznego równania różniczkowego. Równanie do rozwiązania to:
\(\displaystyle{ y' = -3y + 2e^{-x}}\)
używając metody Leapfrog'a. Schemat ten pozwala znaleźć kolejny wyraz an podstawie dwóch poprzednich:
\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2hf(x_n, y_n)}\)
gdzie f to prawa strona pierwszego równania.
Używając tej metody, dostajemy równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2h(-3y_n + 2e^{-nh})}\). Rozwiązuję najpierw:
\(\displaystyle{ y_{n+2} + 6hy_{n+1} - y = 0}\)
zgadując rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \alpha r^{n}}\)
otrzymuję równanie kwadratowe z dwoma pierwiastami:
\(\displaystyle{ r_1 = -3h + \sqrt{9h^2+1}}\), \(\displaystyle{ r_2 = 3h + \sqrt{9h^2+1}}\).
Dalej zgaduję, że pełne równanie ma rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \beta e^{-nh}}\). Otrzymuję w ten sposób
\(\displaystyle{ \beta = \frac{4h}{e^{-2h} + 6e^{-h} - 1}}\).
Używając warunków początkowych \(\displaystyle{ y_0 = 0}\), \(\displaystyle{ y_1 = 2h}\) znajduję stałe A i B w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y_n = Ar_1^n + Br_2^n + \beta e^{-nh}}\). Stałe te wyglądają dość koszmarne i zależą od h w dosyć skomplikowany sposób:
\(\displaystyle{ A = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} -3 \beta h-1}{6h}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} +3 \beta h-1}{6h}}\)
Liczyłem wszystko kilka razy i wygląda na to, że jest w porządku. Jednakże w dalszej części zadania muszę wykazać, że rozwiązanie to jest niestabilne oraz mam znaleźć jak ta niestabilność zależy od h. Ponadto mam pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ h \rightarrow 0, n \rightarrow \infty}\) tak, że \(\displaystyle{ x = nh}\) jest stałe, to rozwiązanie zbiega się do analitycznego rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y = e^{-x} - e^{-3x}}\). Nie mam pojęcia, skąd wziąć to -3x.