Matematyka.pl

Witam. Mam problem z rozwiązaniem układu kongruencji:

Dla jakich reszt \(\displaystyle{ a}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) układ kongruencji

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv a \pmod{8} \\ x \equiv 14 \pmod{28} \end{cases}}\)

Proszę o rozwiązanie lub pomoc w rozwiązaniu.

Skoro \(\displaystyle{ x \equiv 14 \pmod{28}}\) to \(\displaystyle{ x=28n + 14}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Postawiając do pierwszego równania mamy
\(\displaystyle{ 28n+14 \equiv a \pmod{8} \\
4n+6 \equiv a \pmod{8} \\}\)
\(\displaystyle{ n}\) może być parzyste lub nie, czyli przypadki:
\(\displaystyle{ 1. \\
n = 2k \\
8k+6 \equiv a \pmod{8} \\
6 \equiv a \pmod{8} \\
\\
2. \\
n = 2k+1 \\
8k+4+6 \equiv a \pmod{8} \\
10 \equiv a \pmod{8} \\
2 \equiv a \pmod{8}}\)

Czyli możliwe wartości \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 6}\)