Matematyka.pl

Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} (sinx)^{4}}\) i doszedłem do takiego momentu :

\(\displaystyle{ \frac{x}{4}- \frac{1}{4}sin2x+ \frac{1}{4} \int_{}^{} (cos2x)^{2}dx}\)

Niestety nie mam pojęcia co dalej mam zrobić. Znalazłem na internecie, że \(\displaystyle{ (cos2x)^{2}}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(1+cos4x)}\) lecz nie wiem w jaki sposób to zrobić. Próbowałem zrobić podstawiając za \(\displaystyle{ cos2x}\) wzory na niego lecz wychodziło mi coś innego.

Proszę o pomoc

Zakładam że do tego momentu policzyłeś dobrze.
Spróbuj od drugiej stron (od pierwszej to kwestia pewnego doświadczenia)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(1+\cos4x)= \frac{1}{2}(sin^22x+\cos^22x+\cos^22x-\sin^22x)=\cos^22x}\)

Ale możesz zrobić to prościej przy pomocy jedynki trygonometrycznej i cosinusa kąta podwojonego.

-- 10 wrz 2015, o 12:59 --

EDIT:Coś mi nie wiem dlaczego nie dopisało za pierwszym razem tego poniżej
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^22x+\cos^22x=1\\ \cos^22x-\sin^22x=\cos(2 \cdot 2x)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sin^22x=1-\cos^22x}\)
\(\displaystyle{ \cos^22x-(1-\cos^22x)=\cos(2 \cdot 2x)}\)
\(\displaystyle{ \cos^22x= \frac{\cos4x+1}{2}}\)

w jaki sposób to zrobić ?

można też udowodnić, że \(\displaystyle{ \int \sin^n (x) dx = - \frac{\sin^{n-1}(x) \cos(x)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} (x) dx}\)

mol_ksiazkowy pisze: można też udowodnić, że \(\displaystyle{ \int \sin^n (x) dx = - \frac{\sin^{n-1}(x) \cos(x)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} (x) dx}\)

Podpowiedź: łatwo to zrobić zapisując \(\displaystyle{ \int \sin^n{x} \mbox{d}x}\) jako \(\displaystyle{ \int \sin^{n-1}{x} \sin{x} \mbox{d}x}\) i całkując przez części. Bardzo pomocny wzór, bo gdybyś miał jakąś szóstą potęgę to z przekształceniami trygonometrycznymi byś się mocno męczył.

bamsye123 pisze:Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} (sinx)^{4}}\) i doszedłem do takiego momentu :

\(\displaystyle{ \frac{x}{4}- \frac{1}{4}sin2x+ \frac{1}{4} \int_{}^{} (cos2x)^{2}dx}\)

Hm, skoro obniżyłeś o połowę potęgę pod całką, to nie umiałbyś zrobić tego samemu jeszcze raz? Wszak \(\displaystyle{ \int \cos^2 2x \, dx}\) przy podstawieniu \(\displaystyle{ t=2x}\) sprowadza się do \(\displaystyle{ \int \cos^2 t \, dt}\), a to się równa \(\displaystyle{ \int 1 \, dx - \int \sin^2 t \, dt}\).

Właśnie udało mi się to zrobić Dziękuję za wszystkie podpowiedzi.