Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\) a zbiory \(\displaystyle{ A, B \subset \NN}\) są takie że \(\displaystyle{ A \cup B=\NN}\) i \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\).
Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ a, b}\) iż \(\displaystyle{ n_0 <a <b}\) i:
\(\displaystyle{ \{ a, b, a+b \} \subset A}\) lub \(\displaystyle{ \{ a, b, a+b \} \subset B}\)

Hmm... dla \(\displaystyle{ n=0}\) teza jest oczywista, to może przez indukcję?...

Ustalmy \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i załóżmy, że teza jest spełniona dla wszystkich \(\displaystyle{ k < n}\), gdzie \(\displaystyle{ n > 0}\). Wtedy możemy sobie nasze zbiory \(\displaystyle{ A, B}\), troszkę przerobić, to znaczy w ten sposób: \(\displaystyle{ A' = \lbrace a-1: a\in A\rbrace\setminus\lbrace -1\rbrace}\), \(\displaystyle{ B' = \lbrace b-1: b\in B\rbrace\setminus\lbrace -1\rbrace}\). Wówczas \(\displaystyle{ A'\cup B' = \NN}\), oraz \(\displaystyle{ A'\cap B' = \emptyset}\). Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie \(\displaystyle{ a', b'}\), że \(\displaystyle{ \lbrace a', b', a'+b'\rbrace\subseteq A'}\) (lub \(\displaystyle{ B'}\) - nieistotne), gdzie \(\displaystyle{ n-1 < a' < b'}\). To z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ \lbrace a, b, a+b\rbrace\subseteq A}\). Koniec.

Może być?-- 28 wrz 2015, o 01:20 --Czy inspiracją do stworzenia tego zadania mógł być hotel Hilberta?

A dlaczego teza jest oczywista dla \(\displaystyle{ n=0}\)?

Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ 1 \in A}\). Łatwo widać, że obydwa zbiory muszą być nieskończone. Więc teraz dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 2 \in B}\)

Niech \(\displaystyle{ k > 3 \wedge k \in A}\), wtedy \(\displaystyle{ k-1 \in B \wedge k+1 \in B}\) (ponieważ inaczej tworzyłyby trójkę z 1), wtedy trójka \(\displaystyle{ \left\{2, k-1, k+1\right\} \subset B}\).

\(\displaystyle{ 2 \in A}\)

Wtedy \(\displaystyle{ 3 \in B}\) i robimy jak wyżej tylko zamiast \(\displaystyle{ k-1, k+1}\) bierzemy \(\displaystyle{ k-1, k+2}\).

O, dzięki, nawet nie zdążyłem napisać