Strona 1 z 1
Szczególny zbiór
: 8 wrz 2015, o 01:52
autor: mol_ksiazkowy
Niech
\(\displaystyle{ X= \{(a, b) \ 0< a, b <1 \ : 3a+7b \in Z \ \ 5a+b \in Z \}}\). Ile to
\(\displaystyle{ |X|}\) ?
Szczególny zbiór
: 8 wrz 2015, o 06:49
autor: a4karo
W czym trudność?
Szczególny zbiór
: 8 wrz 2015, o 09:50
autor: Medea 2
Jeżeli \(\displaystyle{ 3a+7b}\) i \(\displaystyle{ 5a+b}\) są całkowite, to \(\displaystyle{ 3a-7 \cdot 5 a = -32a}\) też jest całkowita, zatem
\(\displaystyle{ a = \frac{k}{32}}\)
dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Możemy jeszcze odjąć od \(\displaystyle{ 15a + 3b}\) liczbę \(\displaystyle{ 15a + 35b}\), zatem \(\displaystyle{ 32b}\) też jest całkowita i
\(\displaystyle{ b = \frac{l}{32}}\).
Pozostaje sprawdzić \(\displaystyle{ 31^2}\) ułamków... Żmudna praca. Pasuje trzydzieści jeden z nich, dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le 31}\) oraz \(\displaystyle{ l = 27k}\) (modulo \(\displaystyle{ 32}\)).
Szczególny zbiór
: 8 wrz 2015, o 10:27
autor: a4karo
Przegięłaś, Medeo
Pierwsze wyrażenie może przyjmować dziewięć wartości, drugie 5. Pozostaje do rozwiązania 45 układów równań.
excel zrobi to w 5 minut
A jeszcze prościej narysować te 14 prostych na płaszczyźnie i zobaczyć, które punkty przecięcia wpadają do kwadratu jednostkowego.