Matematyka.pl

Mam takie zadanie:
Z tw. Lagrange'a udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cos(60x+1), X \in R}\) jest jednostajnie ciągła.

Co mam:
f: [a,b] -> R warunki:
- funkcja musi być ciągła,
- funkcja musi być różniczkowalna

\(\displaystyle{ f(x)=cos(60x+1)\\
f'(x)=-60sin(60x+1)}\)

\(\displaystyle{ \forall\epsilon>0}\) \(\displaystyle{ \exists \delta>0}\) \(\displaystyle{ \forall X_{0} \in D_{f}}\) \(\displaystyle{ \forall x_{1}, x_{2} \in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)}\)

Tw. L:
\(\displaystyle{ \exists c \in [a,b] \frac{ f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \\
\frac{|f(x_{1})-f(x_{2})|}{x_{1}-x_{2}}=f'(c) \\
|f(x_{1})-f(x_{2})|=f'(c)(x_{1}-x_{2}) \\
f'(c)(x_{1}-x_{2})<\epsilon \\
(x_{1}-x_{2})<\frac{\epsilon}{f'(c)}}\)

i w tym momencie się zacinam, bardzo proszę o pomoc jak dalej liczyć.

Podpowiedź: najpierw udowodnij, że funkcja jest lipschitzowska.

a jakoś inaczej? jestem na pierwszym roku matematyki i nie miałem jeszcze tego zagadnienia.

Spróbuj oszacować moduł pochodnej

\(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} < \frac{-\epsilon}{60} < \frac{\epsilon}{f'(c)}}\)
Skoro \(\displaystyle{ f'(x) = -60 * sin(60x + 1)}\) to największa wartość to \(\displaystyle{ f'(x) = -60}\), czyli \(\displaystyle{ f'(x) >= -60, \forall x \in R}\)
... czy w dobrym kierunku myślę?

Myśl o oszacowaniu wartosci bezwzględnych (bo to jest w definicji jednostajnej ciagłości.

\(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} < \frac{-\epsilon}{60} < \frac{\epsilon}{f'(c)}}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\)

Skoro \(\displaystyle{ f'(x) = -60 * sin(60x + 1)}\) to największa wartość to \(\displaystyle{ f'(x) = -60}\), czyli \(\displaystyle{ f'(x) >= -60, \forall x \in R}\)

Niech \(\displaystyle{ \delta = \frac{-\epsilon}{60}}\)

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in R}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} \le \frac{-\epsilon}{60}, dla x_{1} > x_{2}}\)

Z twierdzenia o wartości średniej \(\displaystyle{ \exists c \in x_{1}, x_{2}}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} = f'(c)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} < \frac{-\epsilon}{60} \le \frac{\epsilon}{f'(c)}}\) czyli \(\displaystyle{ f'(c) * (x_{1} - x_{2}) < \epsilon}\) i \(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2}) < \epsilon}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} < \delta = \frac{-\epsilon}{60} \Rightarrow f(x_{1}) - f(x_{2}) < \epsilon}\)

Tak zrobiłem, inaczej nie umiem

Z tego szacowanie nic nie wynika, bo \(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2})}\) może być równe \(\displaystyle{ -10000000}\)

Powtórzę jeszcze raz: szacuj \(\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|}\)

czyli skoro \(\displaystyle{ f'(c)(x_{1}-x_{2})<\epsilon}\) i jednocześnie jest równe temu modułowi to po zdjęciu modułu z \(\displaystyle{ |f(x_{1})-f(x_{2})| < \epsilon}\) nadal będzie spełnione \(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2}) < \epsilon}\) ??

Tw. L:
\(\displaystyle{ \exists c \in [a,b] \frac{ f(b)-f(a)}{b-a} = f"(c) \\
\frac{|f(x_{1})-f(x_{2})|}{x_{1}-x_{2}}=f'(c) \\
|f(x_{1})-f(x_{2})|=f"(c)(x_{1}-x_{2}) \\
f'(c)(x_{1}-x_{2})<\epsilon \\
(x_{1}-x_{2})<\frac{\epsilon}{f'(c)}}\)

i w tym momencie się zacinam, bardzo proszę o pomoc jak dalej liczyć.

Problem pojawił sie w drugiej linijce

chodzi tylko o ten podwójny prim? powinien być jeden wszędzie, przypadkiem mi się wkradł... :/

chodzi o moduł