Matematyka.pl

Witam, potrzebuję pomocy z takim zadaniem, nie mam pojęcia jak się za nie zabrać:
Niech \(\displaystyle{ L=\left( \left( 1,0,0\right) \right) + lin\left( 1,-1,-1\right) , K=\left( 5,3,-2\right)+lin\left(\left( 1,2,-1\right) \right)}\) i niech \(\displaystyle{ h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) będzie różną od identyczności izometrią spełniającą warunki: \(\displaystyle{ h(p)=p}\) dla każdego \(\displaystyle{ p\in L}\) oraz \(\displaystyle{ h(q)\in K}\) dla każdego \(\displaystyle{ q\in K}\). Obliczyć \(\displaystyle{ h((2,-3,1))}\).

Powiedz dokładniej, czym jest \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\), wtedy pomogę. Nie rozumiem Twojego zapisu.

Może to trochę kiepski zapis, ale moim zdaniem chodzi o proste w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\):
pierwsza jest równoległa do wektora \(\displaystyle{ (1,-1,-1)}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), druga - równoległa do wektora \(\displaystyle{ (1,2,-1)}\) i przechodzi przez \(\displaystyle{ (5,3,-2)}\).

Jeśli chodzi o rozwiązanie, to moim zdaniem można by spróbować skorzystać z tego, że ponieważ \(\displaystyle{ h(L)=L}\) oraz \(\displaystyle{ h(K)=K}\) (chodzi mi o obrazy tych prostych przez przekształcenie \(\displaystyle{ h}\); to drugie wymaga raczej uzasadnienia), to odległość \(\displaystyle{ h((2,-3,1))}\) od prostej \(\displaystyle{ L}\) musi być taka sama, jak odległość \(\displaystyle{ (2,-3,1)}\) od prostej \(\displaystyle{ L}\) (i to samo z prostą \(\displaystyle{ K}\)).
ciekawe tylko, czy nie jest to błędne. Patrzyłbym na to tak, że \(\displaystyle{ d(x,y)=d(h(x),h(y))}\) (d to odległość euklidesowa) dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in L, y \in K}\). Ale \(\displaystyle{ h(x)=x}\) dla dowolnie obranego \(\displaystyle{ x \in L}\), a gdy mamy dwie nierównoległe proste \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to punkty na prostej \(\displaystyle{ B}\) odległe (w metryce euklidesowej) od prostej \(\displaystyle{ A}\) dokładnie o \(\displaystyle{ c}\) (dla \(\displaystyle{ c}\) dodatnich) są dokładnie dwa.
Ale ja zasysam pałasza z geometrii, więc niewykluczone, że to w ogóle nieprawda (nie mam możliwości teraz tego liczyć).

Izometrie płaszczyzny to symetrie osiowe, obroty, translacje oraz ich złożenia.

Hint: \(\displaystyle{ h(1,0,0) = (1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ h(1, -1, -1) = (1, -1, -1)}\). (dlaczego tak jest?)

Co możesz powiedzieć o tym, jak to przekształcenie (konkretnie) zachowuje się na punktach z \(\displaystyle{ K}\)?

Hint 2: Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ h}\) jest izometrią.