Matematyka.pl

Witam

Mam takie zadanko

W ciele \(\displaystyle{ Z_{3}[x]/(x^{2}+2x+2)}\) obliczyć \(\displaystyle{ [x^{2}+1]^{2}}\) i \(\displaystyle{ [x^{2}+1]^{-1}}\)

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać wszelka pomoc mile widziana.
Pozdrawiam

W Twoim ciele spełnione są relacje \(\displaystyle{ x^2 = -2x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3 = 0}\). Zatem \(\displaystyle{ (x^2+1)^2 = (-2x-2+1)^2 = \ldots}\).

\(\displaystyle{ (x ^{2} +1) ^{2} =(-2x-2+1) ^{2} =(-2x-1) ^{2} =(2x+1) ^{2} =4x ^{2} +1+4x=4(-2x-2)+1+4x=-8x-4+1+4x=-4x-3=-x}\)
To o to chodzi?
A drugie to nie wiem...

Jak uzasadniasz przedostatnią równość?

No \(\displaystyle{ 3=0}\), a \(\displaystyle{ -4x\pmod{3}=-x}\)

W drugim musisz odwrócić \(\displaystyle{ -2x - 1}\). W takim razie napisz \(\displaystyle{ (-2x - 1)(ax + b) = 1}\). Po wymnożeniu i redukcji kwadratowych wyrazów dostaniesz \(\displaystyle{ a - b + -2bx = 1}\). Rozwiąż.