Matematyka.pl

Witam

Mam takie zadanko

Czy grupa \(\displaystyle{ \phi(31)}\) jest cykliczna? Wyznacz rząd elementu a=5 i podgrupę generowaną przez ten element oraz warstwy grupy ilorazowej \(\displaystyle{ \phi(31)/(5).}\)

Najpierw muszę chyba wyznaczyć rząd grupy i wypisać jej elementy, ale jak to zrobić skoro 31 to liczba pierwsza. Z generatorem sobie poradzę. Proszę jeszcze o wyznaczenie warstw grupy ilorazowej ponieważ umknęło mi to na zajęciach.

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam

Zacznijmy od tego, że \(\displaystyle{ \varphi(31)}\) nie jest grupą, tylko wartością tocjentu Eulera w \(\displaystyle{ 31}\), czyli liczbą. Sam tocjent jest funkcją. Prawdopodobnie chodzi o \(\displaystyle{ \ZZ_{31}^*}\), grupę, która ma \(\displaystyle{ \varphi(31)}\) elementów. Nie musisz niczego wypisywać, generatorów \(\displaystyle{ \{3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24\}}\) też nie potrzebujesz.

Zauważ, że \(\displaystyle{ 5^3 = 125 = 125 - 4 \cdot 31 = 1}\) (wszystkie równości modulo \(\displaystyle{ 31}\)), więc podgrupa \(\displaystyle{ (5)}\) wyznacza dziesięć warstw.

Skąd wiesz, że podgrupa wyznacza 10 warstw. Jakie to warstwy?

Ponieważ \(\displaystyle{ \varphi(31) = 30}\) (wszystkie liczby mniejsze od liczby pierwszej są względnie pierwsze z nią) i znam tw. Lagrange'a o indeksie podgrupy.