Matematyka.pl

Sprawdzić, które spośród wektorów:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}6\\4\\11\\23\\-5\end{array}\right], \,\left[\begin{array}{c}4\\-1\\9\\33\\29\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}10\\13\\20\\56\\-34\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}12\\-3\\27\\9\\-87\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\16\\-7\\-47\\53\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-8\\2\\-18\\-6\\5\end{array}\right]}\)
należą do podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ lin\Bigg(\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\3\\5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\\5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\-1\\-5\\3\\5\end{array}\right]\Bigg)\subset Q^{5}}\)

Skoro dana podprzestrzeń jest rozpieta przez trzy wektory, ja je oznacze jako \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3}}\) to aby sprawdzić czy któryś z danych wektorów, ja je oznacze przez \(\displaystyle{ w_{i}}\),gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,3,4,5,6}\) należy do danej przestrzeni to należy rozwiązać układ równań na \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\):
\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3} = w_{i}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{i} \mathbb{Q}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\)

mogę prosić o wytłumaczenie, bo nie do końca rozumię

nie ma sprawy.
Weżmy pierwszy wektor, czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}6\\4\\11\\23\\-5\end{array}\right]}\)
Sprawdzimy czy należy on do danej przestrzeni, czyli czy możemy go zapisać za pomoca wektorów rozpinających tę przestrzeń, a mianowicie:
\(\displaystyle{ a\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\3\\5\end{array}\right]+ b\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\\5\end{array}\right]+ c\left[\begin{array}{c}1\\-1\\-5\\3\\5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\4\\11\\23\\-5\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}a+b+c\\a+2b-c\\a+3b-5c\\3a+4b+3c\\5a+5b+5c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\4\\11\\23\\-5\end{array}\right]}\)

Czyli musimy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+c=6\\a+2b-c=4\\a+3b-5c=11\\3a+4b+3c=23\\5a+5b+5c=-5 \end{array}}\)

Rozwiązując taki układ musimy znaleźć takiea,b,c, że \(\displaystyle{ a,b,c Q}\). Jesłi uda nam się to znaczy,że ten wektor należy do danej podprzestrzeni. Jeśli otzrymamy układ sprzeczny lub \(\displaystyle{ a,b,c \not Q}\) tzn, że dany wektor nie należy do danej podprzestrzeni. I tak z każdym wektorem musimy postępować.
Pozdrawiam