Matematyka.pl

Na ile sposobów można rozmieścić n pionów na szachownicy 7x9 tak by żadne dwa nie znajdowały się w tym samym wierszu i tej samej kolumnie. a) n=2 b) n=5 c) n=7.

Ja mam takie podejście w a) wybeiram z 63 pól jedno a potem z 48 następne(63-15=48, minus 15 bo tyle jest pól w wierszu i kolumnie pionka który zajmuję już pozycję)
\(\displaystyle{ {63 \choose 1} \cdot {48 \choose 1}}\)

w następnych podpunktach analogicznie, no i właśnie by wychodziło że 7 pinków można rozmeścić według założeń zadania na więcej sposobów niż dwa co wydję mi się źle. Ktoś by potwierdził moje rozumowanie, lub wskazał błąd?

To jest niedobrze, bo pionki nie są rozróżnialne, tzn postawisz pierwszego pionka na polu A, drugiego na polu B, a potem pierwszego na B i drugiego na A - ta sama konfiguracja liczona dwa razy.

Rozumiem, to jak zrobić to dobrze myślałem że użycie kombinacji wystarczy by załatwić sprawę z rozróżnialnością.

A spróbuj myśleć wierszami i kolumnami, a nie polami - taka wskazówka. Jak nic do jutra wieczór nie wymyślisz, to napiszę rozwiązanie, ok?
Moim zdaniem warto samemu popróbować

Z dziewięciu kolumn wybieram dwie, i z siedmiu wierszy wybieram dwa.
\(\displaystyle{ a)\ {9 \choose 2} \cdot {7 \choose 2} \\
b)\ {9 \choose 5} \cdot {7 \choose 5} \\
c)\ {9 \choose 7}}\)

O to chodzi? Faktycznie wychodzi o wiele mniej.

No tak - jest ok. Tak jakbyś patrzył na punkty o współrzędnych całkowitych. Wybierasz dwie współrzędne \(\displaystyle{ x}\) i dwie współrzędne \(\displaystyle{ y}\). Przepraszam, że nie odpisałem wcześniej, ale dopiero teraz wróciłem do domu - ciężki dzień.
Pozdrawiam

Próbując zastosować to rozumowanie dla kwadratowej szachownicy 2x2 oraz 2 pionków otrzymuję za mało możliwości, gdyż \(\displaystyle{ {2\choose 2} \cdot {2\choose 2} = 1}\), tymczasem możliwości są dwie (obie przekątne).

Dla szachownicy 2x2 jest podobnie jak w moim przykłądzie c.Żeby były spełnione wymogi zadania mogę wybrać tylko wiersz(lub kolumnę, ale nie dwa na raz) na dwa sposoby, czyli
\(\displaystyle{ {2\choose 2} \cdot {2\choose 1} = 2}\)
Mam dwa wiersze do wybrania, czyli 2 nad 2, potem został już tylko jeden czyli 2 nad 1.

Szachownica \(\displaystyle{ w \times k}\) i \(\displaystyle{ n}\) pionków \(\displaystyle{ n \le w \wedge n \le k}\)

Liczba możliwości \(\displaystyle{ {w \choose n} {k \choose n}n!}\)