Matematyka.pl

Witam. Rozwiązuje takie oto zadanie. Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to \(\displaystyle{ p ^{2}-1}\) jest liczba podzielną przez 24. Wiem że liczba p jest liczba nieparzystą. Dlatego iloczyn \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)}\)jest iloczynem dwóch liczb parzystych.

Masz iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, jedna podzielna przez ... druga podzielna przez ... ( zobacz na liczby kolejne parzyste, mianowicie \(\displaystyle{ 2,4 ... 6,8 ... , 100, 102}\) ).
Rozpatrz reszty z dzielenia przez 3 jeszcze.

Paweł, najpierw zobacz, żeby liczba była podzielna przez 24, to liczba musi być podzielna prze np. 4 i 6.
mamy podaną D \(\displaystyle{ p \in \left\{ 5,7,11,13,...\right\}}\)
więc jeżeli \(\displaystyle{ p^2-1=(p-1)(p+1)}\), to widzimy, że iloczyn dwóch KOLEJNYCH LICZB liczb parzystych, z których jena musi (uwzględniając dziedzinę) być podzielna przez 4, a druga 2 i 3, czyli 6, czyli \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest podzielna przez 24. CbdU

Nie, nic tu nie zostało udowodnione.

Maciej19974 pisze: iloczyn dwóch KOLEJNYCH LICZB liczb parzystych, z których jena musi (uwzględniając dziedzinę) być podzielna przez 4, a druga 2 i 3

Ten wniosek jest nieuprawniony.
Równie dobrze jeden z czynników może być podzielny przez \(\displaystyle{ 12}\) lub nawet \(\displaystyle{ 24}\), a drugi tylko parzysty. Przykłady: \(\displaystyle{ p=23,37,47,73}\).

Sprawdzam co się dzieje dla \(\displaystyle{ p=5}\): \(\displaystyle{ p^2 - 1 = 24}\) i teza zadania jest spełniona.
Każda liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ \left( p>5\right)}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k+5}\) (inne, tj. \(\displaystyle{ 6k}\) , \(\displaystyle{ 6k+2}\) , \(\displaystyle{ 6k+3}\) i \(\displaystyle{ 6k+4}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\NN}\), są podzielne albo przez \(\displaystyle{ 2}\), albo przez \(\displaystyle{ 3}\), albo przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)).

Niech \(\displaystyle{ p=6k+1}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ p^2 - 1 = \left( 6k+1\right)^2 - 1 = 36k^2 + 12k + 1 -1 = 12k\left( 3k+1\right)}\).
Teraz należy sprawdzić, co się dzieje w przypadku gdy:
1. \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą parzystą, czyli postaci: \(\displaystyle{ k=2m}\)
2. \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą nieparzystą, czyli postaci: \(\displaystyle{ k=2m+1}\)

Niech \(\displaystyle{ p=6k+5}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ p^2 - 1 = \left( 6k+5\right)^2 - 1 = 36k^2 + 60k + 25 -1 = 12k\left( 3k^2+5k\right) + 24}\)
Teraz podobnie jak wcześniej wystarczy sprawdzić dwa przypadki, które podałem wyżej.

Jeśli za każdym razem liczba będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\), to teza zadania jest spełniona.

Myślę, że jednak dużo łatwiej jest spostrzec, że wśród liczb \(\displaystyle{ p-1}\), \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ p+1}\) dokładnie jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (i nie jest to liczba \(\displaystyle{ p}\) co wynika z założeń) i co najmniej jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\). Jednak jako, że liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza to liczby \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p+1}\) są kolejnymi liczbami parzystymi, ponadto jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Zatem \(\displaystyle{ p ^{2}-1=2 \cdot 3 \cdot 4k=24k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\).