Egzamin aktuarialny - ubezpieczenia życiowe

[matematyk888]

Cześć,

mam problem z poniższym zadaniem, robiłem je na wszystkie możliwe sposoby. Tutaj potrzeba jakiegoś świeżego pomysłu

Z góry dzięki.

Ona \(\displaystyle{ (60)}\) jest wzięta z populacji de Moivre’a z wiekiem nieprzekraczalnym \(\displaystyle{ \omega_{k} = 110}\), a on \(\displaystyle{ (65)}\) jest wzięty z populacji de Moivre’a z \(\displaystyle{ \omega_{m} = 100}\). Każde z
nich wnosi po połowie jednorazowej składki netto i zaczynają otrzymywać
emeryturę małżeńską:
Póki żyją oboje otrzymują emeryturę z intensywnością roczną \(\displaystyle{ W}\) (i dzielą się
nią po równo),
On, po ewentualnym owdowieniu, otrzymuje emeryturę z intensywnością roczną \(\displaystyle{ M}\),
Ona, po jego śmierci, otrzymuje emeryturę z intensywnością roczną \(\displaystyle{ K}\).

Oblicz proporcję \(\displaystyle{ K:M}\), która zapewnia ekwiwalentność ich wkładu do składki
jednorazowej netto.

Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz, że techniczna intensywność \(\displaystyle{ \delta=0,04}\)
oprocentowania wynosi Wskaż najbliższą wartość.

[mm34639]

Niemal po środku między b) i c) , ale jednak bliżej c)

\(\displaystyle{ \frac{W}{2} \cdot \textrm{coś} + K \Big( \left[ \int_0^{35} \textrm{e}^{-0.04t} \cdot \frac{50-t}{50} \cdot \frac{t}{35} \textrm{d}t \right] + \left[ \frac{15}{50} \textrm{e}^{-35 \cdot 0.04} \ \cdot \ \int_0^{15} \frac{15-t}{15} \cdot \textrm{e}^{-0.04t} \, \textrm{d}t \right] \Big)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{W}{2} \cdot \textrm{coś} + M \int_0^{35} \frac{35-t}{35}\cdot \frac{t}{50} \cdot \textrm{e}^{-0.04t} \, \textrm{d}t}\)

kalkulator w dłoń i wychodzi \(\displaystyle{ K:M=0,4459...}\)

udział kobiety składa się z dwóch części: kiedy mąż ma szansę jeszcze być żywy (przez pierwsze 35 lat) i kiedy mąż na pewno zmarł (po 35 latach, o ile ona tylu dożyje)

[matematyk888]

Duże dzięki, wychodziło mi 0,46 (blisko), ponieważ nie uwzględniałem tej części kiedy mąż na pewno umrze.

Btw., skąd \(\displaystyle{ t/50}\) oraz \(\displaystyle{ t/35}\), nie powinno być bez \(\displaystyle{ t}\)?

[mm34639]

\(\displaystyle{ _tq_x=1- \,_tp_x}\)

jeśli np. (de Moivre, \(\displaystyle{ x=60 \ , \ \omega=110}\)) \(\displaystyle{ _tp_x=\frac{\omega-x-t}{\omega-x}=\frac{50-t}{50}}\),
to \(\displaystyle{ _tq_x=1-\frac{\omega-x-t}{\omega-x}=\frac{t}{\omega-x}=\frac{t}{50}}\)

[matematyk888]

Tak, tak rozumiem, jeszcze jakbyś powiedział dlaczego używasz p-stwa śmierci zamiast intensywności?

Duże dzięki za pomoc

[robertm19]

Ja wolałbym wyjść od równania :

\(\displaystyle{ K \cdot \overline{a}_{k}+M \cdot \overline{a}_{m}+(W-M-K) \cdot \overline{a}_{mk}=2(M \cdot \overline{a}_{m}+(W/2-M) \cdot \overline{a}_{mk})}\)
Przynajmniej będzie jasne co dać pod "a".

W się skróci.

Sorka, że nie miałem czasu odpisać na Twoją wiadomość.

[mm34639]

Tak, tak rozumiem, jeszcze jakbyś powiedział dlaczego używasz p-stwa śmierci zamiast intensywności?

Duże dzięki za pomoc

No bo tak się liczy renty -
całka po \(\displaystyle{ t}\) z prawdopodobieństwa że jeden żyje w chwili \(\displaystyle{ t}\), drugi umarł już wcześniej, razy wartość złotówki w chwili t

intensywność wsadzamy pod całkę jak liczymy WO ubezpieczenia coś wypłacającego w chwili śmierci, bierzemy wtedy że typ dożył do \(\displaystyle{ t}\) i natychmiast umarł (dożył=\(\displaystyle{ _tp_x}\) i natychmiast umarł \(\displaystyle{ ... \, \cdot \mu_{x+t}}\)) i na ten moment wartość złotówki (\(\displaystyle{ ... \, \cdot \terxtrm{e}^{- \delta t}}\)),

a to u nas jest normalny wzór na wartość oczekiwaną renty, tyle że normalna renta jest wypłacana póki ktoś żyje \(\displaystyle{ \int \, _tp_x \, \textrm{e}^{-\delta t}}\), a tu zamiast tego "ktoś żyje" mamy, że musi być aktywny status "pierwsza osoba żyje a druga już nie - tzn umarła kiedyś wcześniej" - \(\displaystyle{ \int \, _tp_x \, _tq_y \, \textrm{e}^{- \delta t}}\)

[matematyk888]

Ok, dzięki wielkie za łopatologiczne wyjaśnienie

Tak się domyślałem, ale wolałem mieć pewność
Jeszcze raz dzięki za pomoc z tym zadaniem.