Łańcuch Sturma

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Łańcuch Sturma

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2015, o 14:40

Twierdzenie Sturma
Jest to sposób określania ilości pierwiastków rzeczywistych wielomianu \(W(x)\) w zbiorze \(<a, b>\) gdzie \(a<b\) oraz
\(W(a) \neq 0\) i \(W(b) \neq 0\) przy założeniu, że te pierwiastki są różne.
(tj. jeśli \(W(x)= (x-x_0)^k V(x)\) i \(V\) jest wielomianem, a \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) to \(k=1\)).

Określa się tzw. łańcuch Sturma:
\(W(x), \ W^{\prime}(x) , \ W_1(x), \ W_2(x) , \ … \ , W_m(x) = const\)
gdzie \(W_1(x)\) jest resztą z dzielenia \(W(x)\) przez \(W^{\prime} (x)\) (ale ze znakiem przeciwnym), następnie \(W_2(x)\) jest resztą z dzielenia \(W^{\prime} (x)\) przez \(W_1(x)\) (ale ze znakiem przeciwnym) ... itd.

Następnie zestawia się je:
\(\begin{cases}W(a), \ W^{\prime}(a), \ W_1(a), …, \ W_m(a) \\ W(b), \ W^{\prime}(b), \ W_1(b), … , \ W_m(b) \end{cases}\)
wyznaczając \(A\) i \(B\): są to ilości zmian znaków (z plus na minus lub z minus na plus) dla obydwu tych ciągów (zera są pomijane); Wyrażenie \(|A-B|\) jest równe ilości miejsc zerowych wielomianu \(W\) w przedziale \(<a, b>\).

Przykład
Ile miejsc zerowych ma wielomian \(W(x) = x^3 - 6x+2\) w przedziale \(<0, 5>\) ?

Rozwiązanie
łańcuch Sturma:
\(x^3 - 6x+ 2 , \ 3x^2 - 6 , \ 4x - 3 , \ \frac{69}{16}\)
tj. gdy
\(x=a=0\): \(2, \ -6, \ -3, \ \frac{69}{16}\) tj. \(\ A=2\)
\(x=b=5\): \(97, \ 69, \ 17, \ \frac{69}{16}\) tj. \(\ B=0\)

czyli wielomian \(W\) ma w tym przedziale \(A-B=2\) miejsca zerowe.

Uwagi:
Nietrudno jest zauważyć, że \(W\) ma trzy pierwiastki (miejsca zerowe) rzeczywiste \(x_1, x_2, x_3\); przy czym jeden z nich jest ujemny (\(x_3= - x_1 - x_2<0\); wzory Viety) a dwa z nich tj. \(x_1\) i \(x_2\) są w przedziale \(<0,5>\) ( \(0< x_1< 1\) ; \(2< x_1< 3\)).

rys.


Uwagi:
Twierdzenie to można stosować też dla wielomianów mających pierwiastki wielokrotne, z tym że wtedy \(W\) dzieli się przez \(NWD(W, W^{\prime})\) co daje wielomian o tych samych pierwiastkach jak \(W\) ale już jednokrotnych.
Np. gdy \(W(x)=x^5 - 3x^4+3x^3 - x^2 =x^2(x-1)^3\) to \(W^{\prime}(x)= x(x-1)^2(5x-2)\) dzieląc \(W(x)\) przez \(x(x-1)^2\) jest wielomian \(x(x-1)\) itp.

Aby obliczyć ilość wszystkich miejsc zerowych wielomianu \(W(x)= \sum_{j} a_jx^j\) można też tą metodą np. w przedziale \(<-M, M>\) gdy \(M=1+ \sum_{j} |a_j|\).

Znaczenie metody: jest ona jedną z metod przybliżonego rozwiązywania równań (przez wstępne wyznaczenie przedziałów, w których one są). Następnie można lepiej przybliżać te pierwiastki przez inne metody numeryczne; np. metodę stycznych (Newtona) itp.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ