Matematyka.pl

Cześć,

Mam problem z dwiema granicami,

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right) ^{ \frac{1}{x}}}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right) ^{ \frac{1}{x}}}\)

Znam oczywiście własność \(\displaystyle{ \left[ f \left( x \right) \right] ^{g \left( x \right) } = e^{ g \left( x \right) \ln { f \left( x \right) }}}\) i wiem, że wynik w obydwu granicach powinien wyjść 1. Niestety ciągle nie mogę dobrze ich obliczyć, od wczoraj utknęłam w jednym punkcie.

Czy mógłby ktoś pokazać jak obliczyć całość chociaż jednej z nich? Widząc obliczoną jedną na pewno poradzę sobie z drugą. Dziękuję za pomoc

Pokaż gdzie utknęłaś.

Policzyłam pochodną z tego:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right) ^{ \frac{1}{x}}= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln \frac{\tg x}{x}}{x}\right)}\)

i wyszło mi

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{\tg x}{x} } \cdot \left( \frac{\tg x}{x} \right) '}\)

(\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x}}\) daje 1, stąd wzięłam 1)

czyli

\(\displaystyle{ 1 \cdot \left( \frac{\tg x}{x} \right) ' = \lim_{ x\to\0 } \frac{ \left( \tg x \right) ' \cdot x - \left( \tg x \right) \cdot \left( x \right) '}{ x^{2} }}\)

Po obliczeniu pochodnych wychodzi mi wynik:

\(\displaystyle{ \frac{ \left \frac{1}{\cos ^{2}x \right \cdot x - \tg x} }{x ^ {2}}}\)

x skraca mi się z \(\displaystyle{ x ^ {2}}\) i tutaj nie wiem co zrobić dalej...

Drugiego przykładu nie przepisuję, bo pierwszy raz wpisuję coś w latexie i zajmuje mi to bardzo dużo czasu. Będę wdzięczna za konkretne wskazówki lub pokazanie jak rozwiązać to do końca. Sprawa jest dla mnie dość pilna i ważna. Z góry dzięki.

-- 29 sie 2015, o 16:57 --

Najpierw miałam coś takiego, zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln \frac{\tg x}{x}}{ \frac{1}{ \frac{1}{x} }}\right)}\)

Mogłabym liczyć na jakieś 'krok po kroku' jak to zrobić? Jeśli cała reszta jest źle, proszę po prostu o wskazówki, a nie wyliczanie błędów bo to mi raczej nie pomoże

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right) ^{ \frac{1}{x}}=e^{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln \frac{\tg x}{x}}{x}\right)}\\
\lim_{x\to 0}\frac{\ln \frac{\tg x}{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln \sin x-\ln \cos x -\ln x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{x}}{1}}\)
Mamy więc do policzenia granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}}\)
Tutaj ponownie należy zastosować Hospitala.