Matematyka.pl

Czy następujące wektory tworzą bazę?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\\1\end{array}\right]}\)

musisz zmienić te wektory w macierz i policzyć czy są liniowo niezależne.

ODP. te wektory tworzą bazę bo żaden z tych pojedynczych wektorów nie jest kombinacją dwóch pozostałych łatwo to zauważyć

Jak to udowodnić??
oto dowód:
Załóżmy że V jest naszą przestrzenią.
\(\displaystyle{ V=lin{(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}}\)
tworzymy z tego macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
Łatwo zauważyć że nie ma żadnych kombinacji między wektorami. Więc jest to baza.

PS. jeśli uważasz że w każdej z tych macierzy są bazy to to jest głupota bo zadanie traci zupełnie sens. Ale jeśli się mylę to napisz jak mam rozumieć to zadanie

Liniową niezależność łatwo jest udowodnić, problem (a przynajmniej moje pytanie) odnosi się raczej do drugiej części definicji bazy, a mianowicie czy badany układ wektorów jest generatorem przestrzeni.

Znalazłem, jeszcze taki warunek, że dimV=n,
gdzie n-liczba wektorów bazy, a V przestrzeń przez nie generowana, ale nie jestem tego pewien...

ależ skąd definicja bazy jest następująca:
dla przestrzeni V i zbioru B zachodzi następująca zależność:
1) V=lin(B) czyli przestrzeń V musi być liniową kombinacją zbioru B(gdzie B jest zbiorem wektorów)
2) zbiór B musi być liniowo niezależny

Zobacz przy definicji "inne określenia"

... 84_liniowa)

no ale zrozum mnie że kwestia definicji bazy przestrzeni głównie opiera się na tym że zbiór B musi być liniowo niezależny i ponadto V=lin(B) zbiór generatorów przestrzeni nie ma tu dużego wpływu.

PS. w definicji na wikipedii jest dokładnie napisane:
" *
2. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.

Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna"
Dokładnie napisane no nie?? proste

Czyli od początku miałem rację

Hehe, odpowiedzieć można i tak i nie. Odpowiednie pytanie to jaką przestrzeń rozważasz.
Przykładowo można napisać tak jak kolega:
\(\displaystyle{ V=lin{((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1))}}\)
Choć wg mnie jest to mocna nadinterpretacja. Jednakże wtedy są bazą.
Natomiast jeśli byś zapisał:
\(\displaystyle{ V=R^4}\)
To oczywiscie bazy nie stanowią.