Sprowadzanie rekurencji do równania różniczkowego
: 26 sie 2015, o 12:34
Cześć!
Mam problem z rozwiązaniem pewnego równania rekurencyjnego postaci:
\(\displaystyle{ a_{n+2} + Aa_{n+1} + Ba_{n} = f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(n) = e^n}\).
Mój pomysł to użyć równania:
\(\displaystyle{ y'' + Ay' + By = e^{ex}}\)
różniczkując n razy:
\(\displaystyle{ y^{(n+2)} + Ay^{(n+1)} + By^{(n)} = e^n e^{ex}}\)
podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) oraz \(\displaystyle{ y^{n} = a_n}\)
otrzymujemy równanie rekurencyjne podanej wcześniej postaci. Czyli rozwiązując równanie dla y i różniczkując rozwiązanie n razy powinniśmy dostać rozwiązanie dla a. Wydaje mi się, że wszystko jest ok, ale szukam weryfikacji.
Z góry dzięki!
Mam problem z rozwiązaniem pewnego równania rekurencyjnego postaci:
\(\displaystyle{ a_{n+2} + Aa_{n+1} + Ba_{n} = f(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(n) = e^n}\).
Mój pomysł to użyć równania:
\(\displaystyle{ y'' + Ay' + By = e^{ex}}\)
różniczkując n razy:
\(\displaystyle{ y^{(n+2)} + Ay^{(n+1)} + By^{(n)} = e^n e^{ex}}\)
podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) oraz \(\displaystyle{ y^{n} = a_n}\)
otrzymujemy równanie rekurencyjne podanej wcześniej postaci. Czyli rozwiązując równanie dla y i różniczkując rozwiązanie n razy powinniśmy dostać rozwiązanie dla a. Wydaje mi się, że wszystko jest ok, ale szukam weryfikacji.
Z góry dzięki!