Matematyka.pl

Jak narysować obszar spełniający ten warunek na płaszczyźnie zespolonej? Jak to przekształcić?
\(\displaystyle{ \arg{(- \overline{z})} \ge \frac{\pi}{2}}\)

Próbowałem najpierw z tożsamości \(\displaystyle{ \arg{(-z)} = \arg{z} + \pi}\) a potem z \(\displaystyle{ \arg{\overline{z}} = - \arg{z}}\), ale narysowany przez mnie obszar nie pokrywa się z odpowiedziami. Proszę o pomoc.

Przekształcenie \(\displaystyle{ z\mapsto -\overline{z}}\) działa w pewien sposób na \(\displaystyle{ z}\). Spróbuj opisać jak, a potem wykombinować jak to narysować.

Biorę \(\displaystyle{ z = x + yi}\), wtedy \(\displaystyle{ - \overline{z} = -(x - yi) = -x + yi}\). To znaczy, że część rzeczywista zmienia znak, część urojona pozostaje bez zmian. No ale jak się to ma do rysunku to nie mogę wykombinować.

Zobacz jak ma się Twój opis do geometrii. Czyli mówiąc po ludzku, co robi to przekształcenie? Jaki jest punkt \(\displaystyle{ -\overline{z}}\) w stosunku do \(\displaystyle{ z}\)?

Tzn. wiem, że punkt \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\) w stosunku do punktu \(\displaystyle{ z}\). Nie wiem też czy rozumuję poprawnie, ale jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest argumentem liczby \(\displaystyle{ z}\), to argumentem liczby \(\displaystyle{ - \overline{z}}\) jest \(\displaystyle{ \pi - \phi}\)?

Przekształcenie OK. No to teraz narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), których argument jest \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) i odpowiednio go przekształć tak, żeby ta symetria wyszła.

\(\displaystyle{ \pi - \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \arg{z} \le \frac{\pi}{2}}\)? Chodzi o pierwszą ćwiartkę układu?

Nie. Narysuj zbiór tych \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ \arg{z} \ge \frac{\pi}{2}}\). To nie wszystko. Teraz musisz to przekształcić przez odpowiednią symetrię. W ten sposób przejdziemy na \(\displaystyle{ -\overline{z}}\). Zauważ, że odwzorowaniem odwrotnym do symetrii jest ta sama symetria.

Rozumiem, źle na to patrzyłem przez cały czas. Chodzi o pierwszą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu.

Tak - to efekt końcowy już po przekształceniu przez symetrię.