Matematyka.pl

Jak udowodnić, że jeśli zbiór D jest jednospójny i \(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial P}{\partial y}}\), to istnieje taka funkcja G:D→R,
że G jest potencjałem pola wektorowego w zbiorze D?

Poprawiłem zapis. luka52

Może tak - dowód jest bardzo nieformalny.

Jeżeli istnieje G takie, że jest potencjałem pola, to znaczy, iż wyrażenie \(\displaystyle{ \partial G=P\partial x + Q\partial y}\) jest jego różniczką zupełną; dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \partial x}\), dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P+Q\frac{\partial y}{\partial x}}\)

Jednakże zmienne y i x są niezależne i z tytułu tego \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x}=0}\), przez co:

\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P}\)

Rozumując podobnie, ale tym razem po podzieleniu przez \(\displaystyle{ \partial y}\):

\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial y}=Q}\)

Obliczmy teraz drugie pochodne mieszane funkcji G:

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)=\frac{\partial Q}{\partial x} \\ \frac{\partial ^2 G}{\partial y x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)=\frac{\partial P}{\partial y}}\)

Jednakowoż z twierdzenia Schwartza \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial ^2 G}{\partial y x}}\):

\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\)

Dziękuję bardzo!