średnie w ineksowanej rodzinie
: 21 sie 2015, o 11:19
Takie fajne zadanko powstało przy okazji pracy nad nierównością Hermite-Hadamarda. Miłej zabawy.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\dots,n\}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ K\in X}\) określamy pewną liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a_K}\).
Przypuśćmy, że zachodzi warunek: \(\displaystyle{ K\subset L \Rightarrow a_K\leq a_L}\).
Czy stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ 0<k<l\leq n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{\binom{n}{k}}\sum_{\substack{K\in X\\|K|=k}} a_K\leq \frac{1}{\binom{n}{l}}\sum_{\substack{L\in X\\|L|=l}} a_L}\) ?
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\dots,n\}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ K\in X}\) określamy pewną liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a_K}\).
Przypuśćmy, że zachodzi warunek: \(\displaystyle{ K\subset L \Rightarrow a_K\leq a_L}\).
Czy stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ 0<k<l\leq n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{\binom{n}{k}}\sum_{\substack{K\in X\\|K|=k}} a_K\leq \frac{1}{\binom{n}{l}}\sum_{\substack{L\in X\\|L|=l}} a_L}\) ?