Matematyka.pl

Witam,
Proszę o pomoc z dwoma zadaniami, nie wiem jak je w ogóle ruszyć ...

1)
Wykazać, że funkcjonał \(\displaystyle{ g: V^{2} \rightarrow \Re}\) określa mnożenie skalarne w przestrzeni V macierzy kwadratowych stopnia drugiego, jeżeli \(\displaystyle{ g(\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}x&y\\v&z\end{array}\right])= ax+by+cv+dz.}\)

2)
Wykazać, że w przestrzeni V macierzy kwadratowych stopnia drugiego normę macierzy można określić wzorem: \(\displaystyle{ ||(\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]||= \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\). Przyjmując metryke indukowaną przez tę normę, wyznaczyć odległość macierzy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\-3&-2\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}2&2\\-1&0\end{array}\right]}\)

Zad. 1:
Chyba wkradł Ci się błąd w oznaczeniach. Skąd to \(\displaystyle{ v}\)?
Spójrz sobie na definicję iloczynu skalarnego. Czy wzór zgadza się z tą definicją?

Mam jeszcze pytanie. Co dla Ciebie oznacza \(\displaystyle{ V^{2}}\)?

Widać ze wzorów, że \(\displaystyle{ V^2 = V \times V}\), a \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia drugiego.

1) rzeczywiście jest błąd, powinno być zamiast y v, już edytowałem.

2)\(\displaystyle{ V}\) to dowolna przestrzeń liniowa nad ciałem \(\displaystyle{ \Re}\)

PS "\(\displaystyle{ \Re}\)" to liczby rzeczywiste, miał być specjalny symbol, jednak LaTeX nie chce tego łyknąć...-- 19 sierpnia 2015, o 12:38 --A co z drugim?

Czy może trzeba udowodnić, że funkcjonał spełnia warunki normy i następnie wyznaczyć normy elementu A i elementu B i policzyć ich odległość?

Jeśli dobrze zrozumiałam treść pierwszego zadania, to musisz pokazać, że funkcjonał ten jest iloczynem skalarnym. Definicja iloczynu skalarnego mówi o tym, że jest to dowolny funkcjonał dwuliniowy \(\displaystyle{ f: X \times X \rightarrow R}\), który jest:
1) symetryczny;
2) generuje funkcjonał kwadratowy dodatnio określony.
Wobec tego musisz sprawdzić te warunki.

W zadaniu pierwszym możesz wybrać najpierw jakiś "naturalny" izomorfizm \(\displaystyle{ V \to \RR^4}\) i zauważyć, że \(\displaystyle{ g}\) po przeniesieniu do \(\displaystyle{ \RR^4}\) już jest euklidesowym iloczynem skalarnym. W ten sposób również drugie zadanie staje się jakby prostsze do rozwiązania - wszak o normie wektora w \(\displaystyle{ \RR^n}\) wiedzą nawet licealiści (przynajmniej dla \(\displaystyle{ n \le 3}\)).

Czyli tak jak napisałem w moim ostatnim poście?

Tak, możesz pokazać, że funkcjonał spełnia warunki normy.

Zauważ, że w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}(R)}\) norma może być zadana wzorem \(\displaystyle{ \left| \left| (x_{1},...,x_{n})\right| \right| =\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left| x_{i}\right|^{2}}}\)

A jak z odlegloscia macierzy?

Mam pomysl zeby policzyc roznice A-B i policzyc norme elementu A-B, tylko czy to bedzie OK?

Będzie ok, gdyż tak się definiuje metrykę indukowaną przez normę, tzn:
\(\displaystyle{ (\forall x,y)(d(x,y)=||y-x||)}\)

Ok, dzieki!