Matematyka.pl

Równania Prandtla dla warstwy przyściennej opływu ciała (w dwóch wymiarach) czyli opływ profilu płyne nieściśliwym wyprowadza się z z równania ciągłości dla płynu nieściśliwego oraz z Naviera-Stokesa po pewnych uproszczeniach:
Równanie ciągłości pozostaje bez zmian:
\(\displaystyle{ div( \vec{V} )=0}\) czyli\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}+\frac{ \partial v}{ \partial y}=0}\)
Równania N-S wyglądają tak:
1)\(\displaystyle{ u\frac{ \partial u}{ \partial x}+v\frac{ \partial u}{ \partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{ \partial p}{ \partial x}+\upsilon(\frac{ \partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}u}{\partial y^{2}})}\)
2)\(\displaystyle{ u\frac{ \partial v}{ \partial x}+v\frac{ \partial v}{ \partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{ \partial p}{ \partial y}+\upsilon(\frac{ \partial ^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{ \partial ^{2}v}{\partial y^{2}})}\)
Równania Prandtla wyglądają docelowo tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}+\frac{ \partial v}{ \partial y}=0}\)
\(\displaystyle{ u\frac{ \partial u}{ \partial x}+v\frac{ \partial u}{ \partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{ \partial p}{ \partial x}+\upsilon\frac{ \partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\)





Równanie ciągłości pozostaje bez zmian.
Z pierwszego równania N-S dla osi x czyli wzdłużnej dla warstwy przyściennej znika jedynie człon:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}u}{\partial x^{2}} \approx 0}\) Dlaczego? Pochodna \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{\partial x}}\) jest niewielka? ale po lewej stronie równania 1) jest mnożona przez znaczną wartość u. Czyli po lewej stronie (równania 1) )mamy znaczną wartość \(\displaystyle{ u\frac{\partial u}{\partial x}}\) O to chodzi?
Natomiast drugie równanie całkowicie znika zostaje jedynie człon:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}=0}\) co z pozostałymi członami?:

Jeżeli wiesz gdzie znaleźć informację na ten temat to podeślij tytuł. Lub jeżeli masz chęć i możliwość to wyślij mi kilka zdjęć z podręcznika jaki posiadasz na priv, nie będę oczywiście udostępniał tego nikomu dalej.
Pozdrawiam F.R

Ok. Ale o co chodzi?

AiDi pisze:Ok. Ale o co chodzi?

Chodzi o to że nie wiem dlaczego pewne człony z rówanań N-S znikają: z równania 2)
znika wszystko prócz \(\displaystyle{ -\frac{1}{\rho}\frac{ \partial p}{ \partial y}=0}\) co z pozostałymi członami dlaczego mają się równać 0?
oraz czy dobrze myślę dlaczego z 1) równania znika druga pochodna prędkości po współrzędnej wzdłużnej?:\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}u}{\partial x^{2}} \approx 0}\)?? Czy dobrze myślę.


Ogólniej nie wiem jak z równań N-S dojść do równań Prandtla- które opisują ruch płynu w warstwie przyściennej opływanego profilu.