Matematyka.pl

Obliczyć nie korzystając z reguły De l'Hospitala


\(\displaystyle{ \lim_{x\to\1}\frac{sin(\pi\(x^{a})) }{sin(\pi\(x^{b}))}}\)

podstawmy \(\displaystyle{ y = x^b}\) . mamy do policzenia \(\displaystyle{ \lim_{y \to 1} {\sin \pi y^{a/b} \over \sin \pi y}}\). dalej jest to rowne:
\(\displaystyle{ \lim_{y \to 1} {\sin \pi(1 - y^{a/b}) \over \sin \pi(1-y)} = \lim_{y \to 1} {\pi (1 - y^{a/b}) \over \pi (1 - y)} = \lim_{y \to 1} {y^{a/b} - 1 \over y-1}}\)
sinusy po drodze opuscilem jako ze \(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0} {\sin \alpha \over \alpha} = 0}\). rozwazmy funkcje \(\displaystyle{ f(y) = y^{a/b}}\). ostatnia z granic jest rowna \(\displaystyle{ f'(1) = {a \over b}}\).

metamatyk pisze:Obliczyć nie korzystając z reguły De l'Hospitala

no to mi pokaz gdzie ja z tego korzystam.

g pisze: sinusy po drodze opuscilem jako ze \(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0} {\sin \over } = 0}\).

raczej 1
zdaje sobie sprawe ze to literówka...

no jasne, zdarza sie

Wielkie dzięki za pomoc Sztuczka jest ciekawa. Mam jedynie watpliwosci co do sposobu obliczenia granicy: \(\displaystyle{ \lim_{y \to 1} {y^{a/b} - 1 \over y-1}}\), bo mimo ze nie skorzystales z Hospitala (jawnie) to jednak obliczyłeś to metodami rachunku różniczkowego.Pytanie pojawia sie więc nastepujące-czy wymieniona granica da sie policzyć bez pochodnych?

ja nie tyle nie skorzystalem z dH jawnie, co nie skorzystalem z niego w ogole. to nie jest dH tylko definicja pochodnej funkcji.

prawda jest taka - zadnej granicy nie da sie policzyc bez pochodnych, a zarazem kazda sie da. bo co to w ogole sa pochodne? to sa jakies granice. kazda granice jakims sprytnym podstawieniem mozna doprowadzic do definicji pochodnej jakiejs funkcji w jakims punkcie. kazda granice mozna tez liczyc z definicji. ale po to duzo roznych osob wynajdywalo rozne lemaciki z tej dziedziny zeby z nich korzystac. pochodne sie do tych lemacikow zaliczaja.
poza tym zadania typu "policz cos nie korzystajac z czegos" sa absolutnie kretynskie. bo na przyklad wszelkie "granice bez dH" daloby sie pojechac z definicji granicy i tw. Stolza. a jak sie ktos spyta to mozna pokazac dowod tw. dH bez tw. Stolza tylko z rozwiniecia Taylorem. czy tez "policz pochodna z definicji" - na poczatek maly lemat: piszemy ogolny przypadek, dajemy odnosnik z glowy do dowodu (ksiazka ta i ta na przyklad) i piszemy na mocy lematu pochodna jest rowna... no i co? przeciez wszystko z definicji jest. przeciez wszystko jest z definicji - tylko troche okrezna droga. takie polecenia to jedna wielka niescisla pierdola.

Okazuje się że granicę można policzyć nie mając pojęcia o pochodnych. Obliczenia zajmują około 10 linijek,a wszystko sprowadza się do liczby e.

Z tego, co mi wiadomo, to najpierw wprowadza się pojęcie granicy funkcji a później pochodnej.

g-> przepraszam, uwidzialo mi sie, bo zobaczylem 0/0 i potem pochodna, musze dokladniej czytac to co ludzie pisza

metamatyk pisze:Okazuje się że granicę można policzyć nie mając pojęcia o pochodnych. Obliczenia zajmują około 10 linijek,a wszystko sprowadza się do liczby e.

możesz mi to przybliżyć ?