Matematyka.pl

W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ |AK|=6}\) zaś \(\displaystyle{ |AM|=3}\) i kąt \(\displaystyle{ KAM=60^{o}}\). Ile to jest \(\displaystyle{ |AD|}\) ?

Przedłużamy \(\displaystyle{ AM}\) do przecięcia się z \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Wtedy \(\displaystyle{ |KE|=\frac{3}{2}|AD|}\). Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AKE}\) jest równoramienny i ma kąt \(\displaystyle{ 60^\circ}\), to jest równoboczny i \(\displaystyle{ |KE|=6}\), skąd od razu mamy \(\displaystyle{ |AD|=4}\).

Udało mi się rozwiązać mniej elegancko niż poprzednik:

Trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AKM}\) jest prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ K}\).
Kąt \(\displaystyle{ \angle MOB=30^{\circ}}\). Długość przekątnej \(\displaystyle{ |DB|=6\sqrt{3}}\) Z twierdzenia Talesa dla trójkątów \(\displaystyle{ ADO}\) i \(\displaystyle{ BOM}\)

\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{|BM|}{|OM|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6-|OM|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OM|}}\)

\(\displaystyle{ |OM|=2}\)

Podobnie
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{6\sqrt{3}-|OB|}=\frac{\frac{1}{2}|AD|}{|OB|}}\)

\(\displaystyle{ |OB|=2\sqrt{3}}\)

I z twierdzenia kosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ DOA}\) można wyliczyć, że \(\displaystyle{ |AD|=4}\).