Matematyka.pl

1. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (x \not\in A\cup B) \iff (x\not\in A\wedge x\not\in B)}\)
2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\):
\(\displaystyle{ (A \cup B) \backslash C=(A\backslash C)\cup(B \backslash C)}\)

Proszę o pomoc

1.
\(\displaystyle{ (x\not A\cup B) \Longleftrightarrow (x A\cup B) \Longleftrightarrow (x\in A x\in B) \Longleftrightarrow x\not A x\not B}\)

[ Dodano: 27 Czerwca 2007, 08:42 ]
2. Równość ta nie jest prawdziwa dla dowolnych A, B, C (chyba, że po prawej stronie zamienisz znak iloczynu zbiorów na znak sumy zbiorów).

wb: Rzeczywiście, pomyliłam się, zamiast \(\displaystyle{ \cup}\), dałam \(\displaystyle{ \cap}\). Już to poprawiłam

2.
\(\displaystyle{ (A\cup B)\backslash C=(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup (B\cap C')=(A\backslash C)\cup (B\backslash C)}\)

Zadanie 2. można jeszcze oczywiście rozwiązać pokazując to na rysunku-zakreskowując odpowiednie części zbiorow na tych rysunkach

gaga pisze:Zadanie 2. można jeszcze oczywiście rozwiązać pokazując to na rysunku-zakreskowując odpowiednie części zbiorow na tych rysunkach

No tak - tylko, że formalny dowód poprawności tej metody znacznie wykracza poza poziom liceum

wb: \(\displaystyle{ C'}\) to dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ C}\), tak?

Tak, to jest dopełnienie.

max pisze:No tak - tylko, że formalny dowód poprawności tej metody znacznie wykracza poza poziom liceum

Na wikipedii autor artykułu o diagramach Venna twierdzi, że one nie mają mocy dowodu. A szkoda bo niezwykle wygodna metoda, i nie spotkalem się z sytuacją żeby zawiodła. Jeśli jednak jest to dowód to z chęcią sie o tym dowiem; )

Patrz W. Guzicki, P. Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki" Dodatek A
//nie mam teraz czasu, jutro napiszę o co chodzi.

edit:
Niech dana będzie przestrzeń \(\displaystyle{ X}\). Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) tej przestrzeni przyjmijmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ A^{0} = A, \ A^{1} = A' = X \setminus A}\)
Teraz weźmy dowolną rodzinę indeksowaną podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ (A_{k})_{k\in \{1, 2, \ldots n\}} = \big(A_{k}\subseteq X, \ k \{1, 2, \ldots n\}\big)}\) .
Składową tej rodziny nazywać będziemy zbiór zdefiniowany następująco:
\(\displaystyle{ S_{(c_{k})_{k\in\{1, 2, \ldots, n\}}} = \bigcap_{i \{1, 2, \ldots, n\}} A_{i}^{c_{i}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \forall k\in\{1,2, \ldots n\} \ \big(c_{k}\in \{0, 1\}\big)}\)
Rodzinę \(\displaystyle{ (A_{k})_{k\in \{1, 2, \ldots n\}}}\) nazywamy niezależną, gdy wszystkie jej składowe są niepuste.

Dowodzi się, że jeśli istnieje rodzina niezależna podzbiorów pewnej przestrzeni, że zachodzi dla niej równość między dwoma wyrażeniami algebry zbiorów, to równość ta będzie zachodziła dla dowolnej rodziny podzbiorów dowolnej przestrzeni.

(dowód (a w zasadzie obszerny szkic) znajduje się w podanym wyżej źródle, do którego odsyłam zainteresowanych).

Teraz jak to się ma do diagramów Venna - ano tak, że jeżeli dobierzemy zbiory punktów pewnego podzbioru płaszczyzny (będącego w tym przypadku przestrzenią) w taki sposób, aby wszyskie składowe rodziny utworzonej przez te zbiory były niepuste, to na mocy powyższych uwag, jeśli dla tej rodziny zajdzie jakaś równość między dwoma wyrażeniami algebry zbiorów, to ta równość musi zachodzić również dla dowolnej rodziny podzbiorów dowolnej przestrzeni - zatem odpowiedni rysunek może być w takim przypadku dowodem.

No tak, czyli składowa jest to przecięcie po wszystkich zbiorach bądź dopełnieniach zbiorów z danej rodziny. I na rysunku niezależność oznacza przecinanie każdego kółka z każdym... Inaczej przynajmniej jedno z przecięć sie zrobi puste.
To takie twierdzenia cieszą; ) A mnie rzadko, które twierdzenie z teorii mnogości cieszy.

Wielkie dzieki! Do książki na pewno przy okazji zajrzę. Zapewne w nowym roku akademickim jak będę na uczelni.