Matematyka.pl

Witam,

mam pytanie :
jaka jest interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej?

wszedzie znajduje interpretacje geometryczna rozniczkowalnosci, ale samej pochodnej nie

Pochodna cząstkowa może być utożsamiana z tangensem kąta nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji, leżącej w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rozpinanej przez oś Oz i oś układu, na której odkładana jest zmienna, po której różniczkujemy. Fakt ten jest bezpośrednim skutkiem tego, iż pochodne cząstkowe są tak naprawdę szczególnym przypadkiem pochodnych w kierunku wektora, jak się domyślasz, wektorami w tym wypadku jest kanoniczna baza standardowa przestrzeni liniowej, czyli wersory osi \(\displaystyle{ e_1=(1,0,0)}\), \(\displaystyle{ e_2=(0,1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ e_3=(0,0,1)}\).

Poglądowy rysunek, wykonany dla funkcji dwóch zmiennych:



Zauważ, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi_1}\) jest równoległa do płaszczyzny Oxz, zaś \(\displaystyle{ \pi_2}\) jest równoległa do Oyz. Wybieramy na płaszczyżnie Oxy pewien punkt \(\displaystyle{ (x_0, y_0)\in IntD}\); jego obrazem w zbiorze wartości funkcji jest punkt, który na wykresie może zostać przedstawiony jako punkt \(\displaystyle{ M=(x_0, y_0, f(x_0, y_0))}\). Wyznaczamy następnie dwie proste styczne do wykresu funkcji w punkcie M, czerwoną i zieloną - przecinają one płaszczyznę Oxy pod kątami odpowiednio \(\displaystyle{ \varphi}\) i \(\displaystyle{ \psi}\). Rekapitulując - prawdą będzie, iż:

\(\displaystyle{ \tan\varphi = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \\ \tan\psi = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)}\)

Oczywiście w przypadku funkcji więcej, niż trzech zmiennych, powiedzmy k zmiennych, musielibyśmy się posłużyć, w celu zobrazowania interpretacji geometrycznej pochodnych \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_1}, \, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \, \frac{\partial f}{\partial x_{k-1}}}\) układem współrzędnych rozpiętym na k prostych równoległych do liniowo względem siebie niezależnych wektorów, tworzących bazę w k-wymiarowej przestrzeni liniowej. Niestety, nie jesteśmy już w stanie na płaszczyźnie (ani nawet w przestrzeni) rozpatrywać układów więcej, niż, oraz nawet czterowymiarowych, możemy zająć się tylko "rzutami ortogonalnymi" (czyli cieniami) brył wielowymiarowych, jako pewnymi podprzestrzeniami przestrzeni trójwymiarowej.

Amon-Ra, w jakim programie wykonujesz rysunki?

Wykres funkcji pochodzi z Mathematica 5.2, resztę sporządziłem w Photoshopie CS3. Z reguły jednak ilustracje wykonuję w Paintcie.

Czy można poprosić o wstawienie jeszcze raz obrazka wyjaśniającego interpretację geometryczną? Bardzo by to ułatwiło zrozumienie.