wypuklosc

Kajtek__ · Post autor: **Kajtek__** » 25 cze 2007, o 20:03

mam pytanie z teorii .. a mianowicie jakie sa kryteria wypuklosci ?

Post autor: **Lady Tilly** » 25 cze 2007, o 20:14

Jeżeli f jest funkcjonałem zdefiniowanym i różniczkowalnym na niepustym, otwartym i wypukłym zbiorze S to f jest wypukły (ściśle wypukły) wtedy i tylko wtedy, gdy albo:
\(\displaystyle{ f(x_{1}){\geqslant}(>)f(x_{2})+[{\nabla}f(x_{2})]T(x_{1}-x_{2}){\forall}x_{1},x_{2}{\in}S}\) ,
albo (charakteryzacja Minty’ego): \(\displaystyle{ [{\nabla}f(x_{1})-{\nabla}f(x_{2})]T(x_{1}-x_{2}) {\geqslant} 0(> 0){\forall}x_{1},x_{2}{\in}S}\)

Kajtek__ · Post autor: **Kajtek__** » 25 cze 2007, o 20:23

a mozna cos bardziej przystepnie... bo nie za bardzo rozumiem :/

Silver · Post autor: **Silver** » 26 cze 2007, o 11:06

f'(x)>0 - funkcja wypukła
f'(x)

Post autor: **luka52** » 26 cze 2007, o 12:27

Silver pisze:f'(x)=0 - punkt przegięcia

Niekoniecznie - np. \(\displaystyle{ f(x) = x^4}\), wtedy \(\displaystyle{ f''(0) = 0}\) ale punktu przegięcia nie ma.

Post autor: **Amon-Ra** » 26 cze 2007, o 12:34

Punkt zerowania się drugiej pochodnej może być punktem przegięcia, ale trzeba udowodnić, że istnieje pewno otoczenie punktu, w którym druga pochodna zmienia swój znak. Przykładowo, funkcja podana przez luka52 ma drugą pochodną \(\displaystyle{ f''(x)=12x^2}\), która jest dodatnia, zarówno dla lewo, jak i prawostronnego otoczenia x=0. Stąd funkcja charakteryzuje się takim samym stopniem "wklęsłości" w obustronnym otoczeniu punktu i nie może być mowy o przegięciu.

Silver · Post autor: **Silver** » 26 cze 2007, o 16:04

Racja zapomniało się o otoczeniu
Mój błąd.

Robiąc tabelkę by się nie zapomniało.